数直線上を運動する点Pがあり、時刻$t$における速度が $v = e^t \sin t$ で与えられている。以下の問いに答える。 (1) 出発してから $\pi$ 秒後の点Pの位置を求めよ。 (2) 出発してから $2\pi$ 秒後の間に点Pの動く範囲を求めよ。 (3) 出発してから $2\pi$ 秒後の間に点Pの動いた道のりを求めよ。

1. 問題の内容

数直線上を運動する点Pがあり、時刻$t$における速度が $v = e^t \sin t$ で与えられている。以下の問いに答える。

(1) 出発してから $\pi$ 秒後の点Pの位置を求めよ。

(2) 出発してから $2\pi$ 秒後の間に点Pの動く範囲を求めよ。

(3) 出発してから $2\pi$ 秒後の間に点Pの動いた道のりを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 時刻 $t$ における点Pの位置 $x(t)$ は、速度 $v(t)$ を時間で積分することで求められる。初期位置は原点なので、$x(0) = 0$ である。

したがって、

$x(t) = \int_0^t v(\tau) d\tau = \int_0^t e^{\tau} \sin \tau d\tau$

$\pi$ 秒後の位置は、

$x(\pi) = \int_0^\pi e^{\tau} \sin \tau d\tau$

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{\tau} \sin \tau d\tau$ とする。

$I = e^{\tau} (-\cos \tau) - \int e^{\tau} (-\cos \tau) d\tau = -e^{\tau} \cos \tau + \int e^{\tau} \cos \tau d\tau$

$I = -e^{\tau} \cos \tau + e^{\tau} \sin \tau - \int e^{\tau} \sin \tau d\tau = -e^{\tau} \cos \tau + e^{\tau} \sin \tau - I$

$2I = e^{\tau} (\sin \tau - \cos \tau)$

$I = \frac{1}{2} e^{\tau} (\sin \tau - \cos \tau)$

したがって、

$x(\pi) = \frac{1}{2} [e^{\tau} (\sin \tau - \cos \tau)]_0^\pi = \frac{1}{2} [e^{\pi} (0 - (-1)) - e^0 (0 - 1)] = \frac{1}{2} (e^{\pi} + 1)$

(2) $0 \le t \le 2\pi$ での点Pの動きを調べる。

$v(t) = e^t \sin t$

$v(t) = 0$ となるのは、$t = 0, \pi, 2\pi$ のとき。

$0 < t < \pi$ のとき、$v(t) > 0$

$\pi < t < 2\pi$ のとき、$v(t) < 0$

したがって、$x(0) = 0$, $x(\pi) = \frac{1}{2}(e^{\pi} + 1)$, $x(2\pi) = \int_0^{2\pi} e^t \sin t dt = \frac{1}{2} [e^t (\sin t - \cos t)]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} [e^{2\pi} (0 - 1) - (0 - 1)] = \frac{1}{2} (1 - e^{2\pi})$

$x(\pi) = \frac{1}{2} (e^{\pi} + 1) > 0$, $x(2\pi) = \frac{1}{2} (1 - e^{2\pi}) < 0$

最大値は $x(\pi) = \frac{1}{2}(e^{\pi} + 1)$

最小値は $x(2\pi) = \frac{1}{2}(1 - e^{2\pi})$

したがって、点Pの動く範囲は $[\frac{1}{2}(1 - e^{2\pi}), \frac{1}{2}(e^{\pi} + 1)]$

(3) 動いた道のりは $\int_0^{2\pi} |v(t)| dt = \int_0^{2\pi} |e^t \sin t| dt = \int_0^{\pi} e^t \sin t dt + \int_{\pi}^{2\pi} -e^t \sin t dt$

$\int_0^{\pi} e^t \sin t dt = \frac{1}{2} (e^{\pi} + 1)$ （(1)で求めた）

$\int_{\pi}^{2\pi} e^t \sin t dt = \frac{1}{2} [e^t (\sin t - \cos t)]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{2} [e^{2\pi} (-1) - e^{\pi} (1)] = \frac{1}{2} (-e^{2\pi} - e^{\pi})$

したがって、動いた道のりは

$\frac{1}{2} (e^{\pi} + 1) - \frac{1}{2} (-e^{2\pi} - e^{\pi}) = \frac{1}{2} (e^{\pi} + 1 + e^{2\pi} + e^{\pi}) = \frac{1}{2} (e^{2\pi} + 2e^{\pi} + 1) = \frac{1}{2} (e^{\pi} + 1)^2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} (e^{\pi} + 1)$

(2) $[\frac{1}{2}(1 - e^{2\pi}), \frac{1}{2}(e^{\pi} + 1)]$

(3) $\frac{1}{2} (e^{\pi} + 1)^2$