定積分 $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ が与えられています。置換積分 $x = \frac{\pi}{2} - t$ を行った結果、積分範囲が $\frac{\pi}{2}$ から 0 に変わり、$dx = -dt$、$\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin t$、$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t$ となることが示されています。 そして、$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\sin^3 t}{\cos t + \sin t} (-dt)$ が得られました。

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ が与えられています。置換積分 $x = \frac{\pi}{2} - t$ を行った結果、積分範囲が $\frac{\pi}{2}$ から 0 に変わり、$dx = -dt$、$\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin t$、$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t$ となることが示されています。

そして、$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\sin^3 t}{\cos t + \sin t} (-dt)$ が得られました。

2. 解き方の手順

変数 $t$ を $x$ に戻すには、単に $t$ を $x$ に置き換えるだけです。

積分範囲と $dt$ の負号に注意すると、以下のようになります。

まず、$t$ を $x$ に置き換えます。

$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\sin^3 x}{\cos x + \sin x} (-dx)$

次に、積分の順序を入れ替えて負号を取り除きます。

$I = - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\cos x + \sin x} (-dx) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$

ここで、最初の積分 $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ と、変数変換後の積分 $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ を足し合わせることを考えます。

$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x + \sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$

分子を因数分解します。

$\cos^3 x + \sin^3 x = (\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x) = (\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x)$

したがって、

$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x)}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x \sin x) dx$

$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{2} \sin 2x) dx = \left[ x + \frac{1}{4} \cos 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} \cos \pi) - (0 + \frac{1}{4} \cos 0) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$

$2I = \frac{\pi - 1}{2}$

$I = \frac{\pi - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi - 1}{4}$