曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上に2点 $A(1, 1)$ と $P(a, \frac{1}{a})$ ($a > 1$) をとる。原点O, 点A, 点Pを結んでできる線分OA, OPと弧APで囲まれる部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V(a)$ とする。このとき、$\lim_{a \to \infty} V(a)$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上に2点 $A(1, 1)$ と $P(a, \frac{1}{a})$ ($a > 1$) をとる。原点O, 点A, 点Pを結んでできる線分OA, OPと弧APで囲まれる部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V(a)$ とする。このとき、$\lim_{a \to \infty} V(a)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、線分OA, OPの方程式を求める。

OAの式は、$y = x$

OPの式は、$y = \frac{1}{a^2}x$

次に、弧APを回転してできる立体の体積を求める。これは$y = \frac{1}{x}$ を $x=1$ から $x=a$ まで回転して積分すればよい。

$\pi \int_1^a (\frac{1}{x})^2 dx = \pi \int_1^a \frac{1}{x^2} dx = \pi [-\frac{1}{x}]_1^a = \pi (-\frac{1}{a} + 1) = \pi(1 - \frac{1}{a})$

次に、線分OAを回転してできる立体の体積を求める。

これは底面の半径が1、高さが1の円錐なので、$\frac{1}{3} \pi (1)^2 (1) = \frac{1}{3}\pi$

次に、線分OPを回転してできる立体の体積を求める。

これは底面の半径が$\frac{1}{a}$、高さがaの円錐なので、$\frac{1}{3} \pi (\frac{1}{a})^2 (a) = \frac{\pi}{3a}$

求める体積 $V(a)$ は、弧APを回転してできる立体の体積 + 線分OPを回転してできる立体の体積 - 線分OAを回転してできる立体の体積。

$V(a) = \pi (1 - \frac{1}{a}) + \frac{\pi}{3a} - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{a} + \frac{\pi}{3a} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3a}$

最後に、$\lim_{a \to \infty} V(a)$ を求める。

$\lim_{a \to \infty} V(a) = \lim_{a \to \infty} (\frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3a}) = \frac{2\pi}{3} - 0 = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3}$