関数 $y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求めるとき、 $y = x + \frac{x^3}{ア} + \frac{\sin \theta x(イ + \sin^2 \theta x)}{ウ \cos^5 \theta x}x^4$ ($0 < \theta < 1$) の空欄ア、イ、ウに当てはまる数字を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求めるとき、

$y = x + \frac{x^3}{ア} + \frac{\sin \theta x(イ + \sin^2 \theta x)}{ウ \cos^5 \theta x}x^4$ ($0 < \theta < 1$)

の空欄ア、イ、ウに当てはまる数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots$

問題文には $n=4$ としてマクローリン展開を適用すると書いてあるので、4次の項まで求めればよいです。問題文にある式と比較すると、

$x + \frac{x^3}{ア} + \frac{\sin \theta x(イ + \sin^2 \theta x)}{ウ \cos^5 \theta x}x^4$

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$

となるので、アに入る数字は3であることがわかります。

次に、問題文の式にあるラグランジュの剰余項を考えます。

$R_4 = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!} x^5 = \frac{d^5}{dx^5} \tan(x)|_{x=\theta x} \frac{x^5}{5!}$

$\tan x$ の5階微分は

$f^{(5)}(x) = 16 \sec^6 x - 64 \sec^4 x + 32 \sec^2 x$

なので、

$R_4 = (16 \sec^6 (\theta x) - 64 \sec^4 (\theta x) + 32 \sec^2 (\theta x))\frac{x^5}{5!}$

ここで$\sec^2 \theta x = 1 + \tan^2 \theta x$ より、

$\sec^2 \theta x = 1 + \frac{\sin^2 \theta x}{\cos^2 \theta x} = \frac{\cos^2 \theta x + \sin^2 \theta x}{\cos^2 \theta x} = \frac{1}{\cos^2 \theta x}$

$\sec^4 \theta x = \frac{1}{\cos^4 \theta x}$

$\sec^6 \theta x = \frac{1}{\cos^6 \theta x}$

$R_4 = (16 \frac{1}{\cos^6 (\theta x)} - 64 \frac{1}{\cos^4 (\theta x)} + 32 \frac{1}{\cos^2 (\theta x)})\frac{x^5}{120}$

$R_4 = (\frac{16 - 64\cos^2(\theta x) + 32\cos^4(\theta x)}{\cos^6 (\theta x)})\frac{x^5}{120} = \frac{16(1-2\cos^2 (\theta x))^2}{\cos^6 \theta x} \frac{x^5}{120}$

$R_4 = \frac{4 \sin \theta x(イ + \sin^2 \theta x)}{ウ \cos^5 \theta x}x^4$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin \theta x}{\cos \theta x}$ を利用する。

$\frac{d^5}{dx^5} \tan x = \frac{\sin \theta x(イ + \sin^2 \theta x)}{\cos^5 \theta x} \frac{x^4}{5!}$

ここで

$イ=2$

$ウ=8$

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 2

ウ: 15