与えられた関数 $f(x)$ が、指定された $x$ の値において連続であるか不連続であるかを調べます。ただし、$[ \ ]$ はガウス記号（床関数）を表します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が、指定された $x$ の値において連続であるか不連続であるかを調べます。ただし、$[ \ ]$ はガウス記号（床関数）を表します。

2. 解き方の手順

関数の連続性を調べるためには、以下の3つの条件がすべて満たされている必要があります。

1. $f(a)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ である。

各関数について、上記の条件を順番に確認していきます。

(1) $f(x) = \sqrt{x-2}$ ($x=4$)

1. $f(4) = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$

2. $\lim_{x \to 4} \sqrt{x-2} = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$

3. $\lim_{x \to 4} f(x) = f(4) = \sqrt{2}$

したがって、連続です。

(2) $f(x) = \frac{|x|}{x}$ ($x=3$)

1. $f(3) = \frac{|3|}{3} = \frac{3}{3} = 1$

2. $\lim_{x \to 3} \frac{|x|}{x} = \frac{|3|}{3} = 1$

3. $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 1$

したがって、連続です。

(3) $f(x) = [x]$ ($x=0$)

1. $f(0) = [0] = 0$

2. $\lim_{x \to 0^+} [x] = 0$

3. $\lim_{x \to 0^-} [x] = -1$

$\lim_{x \to 0^+} [x] \neq \lim_{x \to 0^-} [x]$ なので、$\lim_{x \to 0} [x]$ は存在しません。

したがって、不連続です。

(4) $f(x) = [[x]]$ ($x=0$)

1. $f(0) = [[0]] = [0] = 0$

2. $\lim_{x \to 0^+} [[x]] = [0] = 0$

3. $\lim_{x \to 0^-} [[x]] = [-1] = -1$

$\lim_{x \to 0^+} [[x]] \neq \lim_{x \to 0^-} [[x]]$ なので、$\lim_{x \to 0} [[x]]$ は存在しません。

したがって、不連続です。

(5) $f(x) = [\sin x]$ ($x = \pi$)

1. $f(\pi) = [\sin \pi] = [0] = 0$

2. $\lim_{x \to \pi^+} [\sin x] = [\sin (\pi + \epsilon)] = [\text{負の小さい数}] = -1$ （$\epsilon$ は正の微小量）

3. $\lim_{x \to \pi^-} [\sin x] = [\sin (\pi - \epsilon)] = [\text{正の小さい数}] = 0$

$\lim_{x \to \pi^+} [\sin x] \neq \lim_{x \to \pi^-} [\sin x]$ なので、$\lim_{x \to \pi} [\sin x]$ は存在しません。

したがって、不連続です。

(6) $f(x) = [\sin x]$ ($x = \frac{\pi}{2}$)

1. $f(\frac{\pi}{2}) = [\sin \frac{\pi}{2}] = [1] = 1$

2. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} [\sin x]$ を調べるために、$\frac{\pi}{2}$ の近くでの $\sin x$ の値を考えます。

$x = \frac{\pi}{2}$ の近傍では $\sin x$ は 1 に近い値を取ります。

したがって、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} [\sin x] = 1$

3. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = 1$

したがって、連続です。

3. 最終的な答え

(1) 連続

(2) 連続

(3) 不連続

(4) 不連続

(5) 不連続

(6) 連続