$n$ が奇数のとき、$\sin x$ の近似式が与えられている。この式を用いて $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める。近似式は以下の通り。 $\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n \quad (0 < \theta < 1)$

1. 問題の内容

$n$ が奇数のとき、$\sin x$ の近似式が与えられている。この式を用いて $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める。近似式は以下の通り。

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n \quad (0 < \theta < 1)$

2. 解き方の手順

$\sin x$ の近似式において、誤差項 $\frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ が最小となるように $n$ を定める必要がある。

$x = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める。まず $n=3$ とすると、

$\frac{n-3}{2} = \frac{3-3}{2} = 0$ となり、$\sum_{\ell=0}^0 \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} = \frac{(-1)^0}{(2\cdot0+1)!} x^{2\cdot0+1} = \frac{1}{1!} x^1 = x = \frac{1}{3}$

誤差項は $\frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{3!} x^3 = \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{6} (\frac{1}{3})^3 = \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{6} \frac{1}{27} = \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{162}$

$0 < \theta < 1$ より $-\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2} < -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} \approx -1.57 + 0.33 = -1.24$

$|\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})| \leq 1$ であるから、誤差項は $\frac{1}{162} \approx 0.0062$ となり、小数第4位まで求めるには精度が足りない。

次に、$n=5$ とする。

$\frac{n-3}{2} = \frac{5-3}{2} = 1$ となり、$\sum_{\ell=0}^{1} \frac{(-1)^{\ell}}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} = \frac{(-1)^0}{(2\cdot0+1)!} x^{2\cdot0+1} + \frac{(-1)^1}{(2\cdot1+1)!} x^{2\cdot1+1} = x - \frac{x^3}{3!} = \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{6} = \frac{1}{3} - \frac{1}{27 \cdot 6} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} = \frac{54 - 1}{162} = \frac{53}{162} \approx 0.32716$

誤差項は $\frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!} x^5 = \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{120} (\frac{1}{3})^5 = \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{120 \cdot 243} = \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{29160}$

$|\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})| \leq 1$ であるから、誤差項は $\frac{1}{29160} \approx 0.000034$ となり、小数第4位まで求めるには十分な精度がある。

したがって、$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{53}{162} \approx 0.32716$

3. 最終的な答え

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$