曲線 $y = \log x$ と2直線 $x = a$, $x = a + \frac{3}{2}$ および $x$ 軸で囲まれる2つの部分の面積の和を $S(a)$ とする。 (1) $S(a)$ を $a$ で表せ。 (2) $S(a)$ の最小値を求めよ。ただし、$0 < a < 1$ とする。

はい、承知いたしました。問題3と4についてそれぞれ解答します。

**問題3**

1. 問題の内容

曲線 $y = \log x$ と2直線 $x = a$, $x = a + \frac{3}{2}$ および $x$ 軸で囲まれる2つの部分の面積の和を $S(a)$ とする。

(1) $S(a)$ を $a$ で表せ。

(2) $S(a)$ の最小値を求めよ。ただし、$0 < a < 1$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $S(a)$ を求める。

$S(a)$ は2つの積分で表される。

$S(a) = \left| \int_a^1 \log x \, dx \right| + \int_1^{a+\frac{3}{2}} \log x \, dx$

ここで、$\int \log x \, dx = x \log x - x + C$ である。したがって、

$\int_a^1 \log x \, dx = [x \log x - x]_a^1 = (1 \log 1 - 1) - (a \log a - a) = -1 - a \log a + a$

$\int_1^{a+\frac{3}{2}} \log x \, dx = [x \log x - x]_1^{a+\frac{3}{2}} = (a+\frac{3}{2}) \log (a+\frac{3}{2}) - (a+\frac{3}{2}) - (1 \log 1 - 1) = (a+\frac{3}{2}) \log (a+\frac{3}{2}) - a - \frac{1}{2}$

$0 < a < 1$ より、$a \log a < 0$ なので、$-1 - a \log a + a > 0$ である。

したがって、

$S(a) = - \int_a^1 \log x \, dx + \int_1^{a+\frac{3}{2}} \log x \, dx$

$S(a) = 1 + a \log a - a + (a+\frac{3}{2}) \log (a+\frac{3}{2}) - a - \frac{1}{2}$

$S(a) = a \log a + (a+\frac{3}{2}) \log (a+\frac{3}{2}) - 2a + \frac{1}{2}$

(2) $S(a)$ の最小値を求める。

$S'(a) = \log a + 1 + \log (a+\frac{3}{2}) + 1 - 2$

$S'(a) = \log a + \log (a+\frac{3}{2})$

$S'(a) = \log (a(a+\frac{3}{2}))$

$S'(a) = 0$ のとき、$a(a+\frac{3}{2}) = 1$

$a^2 + \frac{3}{2}a - 1 = 0$

$2a^2 + 3a - 2 = 0$

$(2a - 1)(a + 2) = 0$

$a = \frac{1}{2}, -2$

$0 < a < 1$ より、$a = \frac{1}{2}$

$S''(a) = \frac{1}{a} + \frac{1}{a+\frac{3}{2}} > 0$ なので、$a = \frac{1}{2}$ で最小値をとる。

$S(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \log \frac{1}{2} + (\frac{1}{2}+\frac{3}{2}) \log (\frac{1}{2}+\frac{3}{2}) - 2(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

$S(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} \log 2 + 2 \log 2 - 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \log 2 - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S(a) = a \log a + (a+\frac{3}{2}) \log (a+\frac{3}{2}) - 2a + \frac{1}{2}$

(2) 最小値: $\frac{3}{2} \log 2 - \frac{1}{2}$

**問題4**

1. 問題の内容

$t$ を媒介変数とする。$x = \cos t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で定義される曲線 $C$ について、

(1) $y$ を $x$ の関数で表し、$C$ の概形をかけ。

(2) $C$ で囲まれる図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $x$ の関数で表す。

$y = \sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2 \cos t \sqrt{1 - \cos^2 t} = 2x \sqrt{1 - x^2}$

ただし、$0 \le t \le 2\pi$ なので、$\sin t$ の符号を考慮する必要がある。

$y = 2x \sqrt{1 - x^2}$ ( $0 \le t \le \pi$)

$y = -2x \sqrt{1 - x^2}$ ($\pi \le t \le 2\pi$)

$y^2 = 4x^2(1 - x^2)$

$y = \pm 2x \sqrt{1-x^2}$

$x = \cos t$ なので、$x$ の範囲は $-1 \le x \le 1$ である。

概形：

$y = 2x \sqrt{1-x^2}$ のグラフと $y = -2x \sqrt{1-x^2}$ のグラフを描く。

これは原点対称なグラフとなる。

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = \pm 1$ のとき $y = 0$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = 1$

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = -1$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = -1$

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = 1$

(2) 面積を求める。

$S = 2 \int_{-1}^{1} |2x \sqrt{1 - x^2}| \, dx$

$S = 4 \int_{-1}^{1} |x| \sqrt{1 - x^2} \, dx = 8 \int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx$

$1 - x^2 = u$ とおくと、$du = -2x dx$

$x dx = -\frac{1}{2} du$

$S = 8 \int_1^0 \sqrt{u} (-\frac{1}{2} du) = 4 \int_0^1 u^{\frac{1}{2}} du = 4 [\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_0^1 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \pm 2x \sqrt{1-x^2}$

概形：省略 (上記を参照)

(2) 面積: $\frac{8}{3}$