与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{3}x}{\sin x + \cos x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{3}x}{\sin x + \cos x} dx$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{3}x}{\sin x + \cos x} dx$

とする。

置換積分 $x = \frac{\pi}{2} - t$ を行うと、$dx = -dt$ となり、積分範囲は $\frac{\pi}{2}$ から $0$ に変わる。

また、$\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin t$、$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t$ である。

したがって、

$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin^{3}t}{\cos t + \sin t} (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{3}x}{\sin x + \cos x} dx$

となる。（変数 $t$ を $x$ に戻した。）

このことから、

$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{3}x}{\sin x + \cos x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{3}x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{3}x + \sin^{3}x}{\sin x + \cos x} dx$

ここで、$\cos^{3}x + \sin^{3}x = (\cos x + \sin x)(\cos^{2}x - \cos x \sin x + \sin^{2}x) = (\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x)$ より、

$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x)}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x \sin x) dx$

ここで $\cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin(2x)$ より、

$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{2} \sin(2x)) dx = \left[x + \frac{1}{4} \cos(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} \cos(\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{4} \cos(0)\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$

したがって、

$I = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}$