次の3つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_{0}^{2} x^2\sqrt{4-x^2} dx$ (2) $\int_{0}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$ (3) $\int_{1}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}+1} dx$

はい、承知いたしました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

次の3つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_{0}^{2} x^2\sqrt{4-x^2} dx$

(2) $\int_{0}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$

(3) $\int_{1}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}+1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $x = 2\sin\theta$とおくと、$dx = 2\cos\theta d\theta$となります。

積分範囲は、$x: 0 \to 2$ に対して、$\theta: 0 \to \frac{\pi}{2}$となります。

したがって、

$\int_{0}^{2} x^2\sqrt{4-x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin\theta)^2 \sqrt{4-(2\sin\theta)^2} (2\cos\theta) d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\sin^2\theta \cdot 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta d\theta$

$= 16 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \cos^2\theta d\theta$

$= 16 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2}\sin2\theta\right)^2 d\theta$

$= 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta d\theta$

$= 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos4\theta}{2} d\theta$

$= 2 \left[\theta - \frac{1}{4}\sin4\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= 2 \left(\frac{\pi}{2} - 0 - (0-0)\right) = \pi$

(2) $t = 4-x^2$とおくと、$dt = -2xdx$となります。よって、$xdx = -\frac{1}{2}dt$となります。

積分範囲は、$x: 0 \to 2$ に対して、$t: 4 \to 0$となります。

したがって、

$\int_{0}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx = \int_{4}^{0} \sqrt{t} \left(-\frac{1}{2}\right) dt$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{t} dt$

$= \frac{1}{2} \left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} - 0\right)$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3}$

(3) $\sqrt{x+1}=t$とおくと、$x = t^2-1$、$dx = 2tdt$となります。

積分範囲は、$x: 1 \to 3$ に対して、$t: \sqrt{2} \to 2$となります。

したがって、

$\int_{1}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}+1} dx = \int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{t^2-1}{t+1} 2t dt$

$= 2 \int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{(t-1)(t+1)}{t+1} t dt$

$= 2 \int_{\sqrt{2}}^{2} (t-1)t dt$

$= 2 \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^2 - t) dt$

$= 2 \left[\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2\right]_{\sqrt{2}}^{2}$

$= 2 \left[\left(\frac{8}{3} - \frac{4}{2}\right) - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{2}\right)\right]$

$= 2 \left[\frac{8}{3} - 2 - \frac{2\sqrt{2}}{3} + 1\right]$

$= 2 \left[\frac{8}{3} - 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}\right]$

$= 2 \left[\frac{5}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3}\right]$

$= \frac{10 - 4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\pi$

(2) $\frac{8}{3}$

(3) $\frac{10-4\sqrt{2}}{3}$