不等式 $\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq 1$ を $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で解く。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq 1$ を $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で解く。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq 1$

両辺を $\sqrt{2}$ で割ると、

$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

ここで、$t = 2x - \frac{\pi}{4}$ とおくと、$\cos(t) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

$0 \leq x \leq \pi$ より、

$0 \leq 2x \leq 2\pi$

$-\frac{\pi}{4} \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq 2\pi - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{7\pi}{4}$

$\cos(t) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $t$ の範囲は、

$-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{\pi}{4}$ と $\frac{7\pi}{4} \geq t \geq \frac{-\pi}{4}$

$2\pi - \frac{\pi}{4} \leq t \leq 2\pi + \frac{\pi}{4}$ は $t$ の範囲に含まれないので考慮しない。

$-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{\pi}{4}$ , $\frac{7\pi}{4} \leq t$ となる。$t$の範囲から $\frac{7\pi}{4}$は考えなくて良い。

よって、$-\frac{\pi}{4} \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4}$

各辺に $\frac{\pi}{4}$ を加えると、

$0 \leq 2x \leq \frac{\pi}{2}$

各辺を $2$ で割ると、

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$