区間 $A = [-1, 1]$ 上で定義された以下の4つの関数 $f_i: A \to A$ ($i=1,2,3,4$) について、逆関数を持つものを理由とともに全て挙げよ。 $f_1(x) = x^2$ $f_2(x) = x^5$ $f_3(x) = \sin x$ $f_4(x) = \sin \frac{\pi x}{2}$

1. 問題の内容

区間 $A = [-1, 1]$ 上で定義された以下の4つの関数 $f_i: A \to A$ ($i=1,2,3,4$) について、逆関数を持つものを理由とともに全て挙げよ。

$f_1(x) = x^2$

$f_2(x) = x^5$

$f_3(x) = \sin x$

$f_4(x) = \sin \frac{\pi x}{2}$

2. 解き方の手順

関数が逆関数を持つための条件は、その関数が全単射（単射かつ全射）であることです。つまり、定義域の異なる元が異なる値に対応し（単射）、かつ値域が終域と一致する（全射）必要があります。

* $f_1(x) = x^2$: この関数は $A = [-1, 1]$ 上で単射ではありません。例えば、$f_1(1) = 1$ かつ $f_1(-1) = 1$ なので、異なる元が同じ値に対応します。したがって、逆関数を持ちません。

* $f_2(x) = x^5$: この関数は $A = [-1, 1]$ 上で単射です。また、$x$が$-1$から$1$まで増加するにつれて、$x^5$も$-1$から$1$まで増加するため、$f_2(x)$は全射です。したがって、$f_2(x)$は逆関数を持ちます。

* $f_3(x) = \sin x$: この関数は $A = [-1, 1]$ 上で単射です。また、$x$が$-1$から$1$まで増加するにつれて、$\sin x$も$-\sin 1$から$\sin 1$まで増加します。ここで、$\sin 1 \approx 0.84 < 1$なので、$f_3(x)$の終域は$[-1,1]$ですが、値域は$[-\sin 1, \sin 1]$となるため、$f_3(x)$は全射ではありません。つまり、$f_3(x)$は$A$から$A$への関数として全射ではないため、逆関数を持ちません。

* $f_4(x) = \sin \frac{\pi x}{2}$: この関数は $A = [-1, 1]$ 上で単射です。また、$x$が$-1$から$1$まで増加するにつれて、$\frac{\pi x}{2}$も$-\frac{\pi}{2}$から$\frac{\pi}{2}$まで増加し、$\sin \frac{\pi x}{2}$も$-1$から$1$まで増加します。したがって、$f_4(x)$は全射です。よって、$f_4(x)$は逆関数を持ちます。

3. 最終的な答え

逆関数を持つ関数は、$f_2(x)$と$f_4(x)$です。

理由：

* $f_2(x) = x^5$ は $A = [-1, 1]$ 上で単射かつ全射であるため、逆関数を持ちます。

* $f_4(x) = \sin \frac{\pi x}{2}$ は $A = [-1, 1]$ 上で単射かつ全射であるため、逆関数を持ちます。