(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos \alpha$、$\sin 2\alpha$ の値を求め、$\alpha$ がどの範囲にあるかを答える問題。 (2) $f(x) = \log_2 x$, $g(x) = \log_2 (\frac{x}{8} - 3)$ とする。$g(x)$ を変形し、$y = g(x)$ のグラフが $y = f(x)$ のグラフをどのように平行移動したものかを答える問題。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos \alpha$、$\sin 2\alpha$ の値を求め、$\alpha$ がどの範囲にあるかを答える問題。

(2) $f(x) = \log_2 x$, $g(x) = \log_2 (\frac{x}{8} - 3)$ とする。$g(x)$ を変形し、$y = g(x)$ のグラフが $y = f(x)$ のグラフをどのように平行移動したものかを答える問題。

2. 解き方の手順

(1)

- $\cos \alpha$ の値を求める。$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\cos \alpha > 0$ であるから、$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$。

- $\sin 2\alpha$ の値を求める。$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$。

- $\alpha$ の範囲を求める。$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ であり、$\sin \alpha = \frac{3}{5} = 0.6$ である。$\sin x$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ で単調増加なので、$\alpha < \frac{\pi}{4}$ である。また、$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$ より、$\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{4}$ となる。

(2)

- $g(x)$ を変形する。$g(x) = \log_2 (\frac{x}{8} - 3) = \log_2 (\frac{x - 24}{8}) = \log_2 (x - 24) - \log_2 8 = \log_2 (x - 24) - 3$。

- $y = g(x)$ のグラフは、$y = f(x) = \log_2 x$ のグラフを、$x$ 軸方向に $24$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動したものである。

3. 最終的な答え

(1)

$\cos \alpha = \frac{4}{5}$

$\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$

$\alpha$ は ② $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{4}$ を満たす。

(2)

$g(x) = \log_2 (x - 24) - 3$

$x$軸方向に $24$

$y$軸方向に $-3$