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与えられた3つの2階線形常微分方程式を解く問題です。それぞれの式は以下の通りです。 (a) $\ddot{x} + 4\dot{x} + 3x = 1$ (b) $\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x = e^{-t}$ (c) $\ddot{x} + 4\dot{x} + 3x = e^{it}$

解析学常微分方程式線形微分方程式2階微分方程式特性方程式一般解特解
2025/6/19

1. 問題の内容

与えられた3つの2階線形常微分方程式を解く問題です。それぞれの式は以下の通りです。
(a) x¨+4x˙+3x=1\ddot{x} + 4\dot{x} + 3x = 1
(b) x¨+3x˙+2x=e−t\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x = e^{-t}
(c) x¨+4x˙+3x=eit\ddot{x} + 4\dot{x} + 3x = e^{it}

2. 解き方の手順

それぞれの微分方程式について、以下の手順で解を求めます。
(1) 同次方程式の一般解を求める。
(2) 特解を求める。
(3) 一般解と同次方程式の一般解を足し合わせて、一般解を求める。
(a) x¨+4x˙+3x=1\ddot{x} + 4\dot{x} + 3x = 1
(1) 同次方程式 x¨+4x˙+3x=0\ddot{x} + 4\dot{x} + 3x = 0 の特性方程式は r2+4r+3=0r^2 + 4r + 3 = 0 であり、これを解くと r=−1,−3r = -1, -3 となります。したがって、同次方程式の一般解は xh(t)=c1e−t+c2e−3tx_h(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-3t} ( c1,c2c_1, c_2 は任意定数) となります。
(2) 特解を xp(t)=Ax_p(t) = A (定数) と仮定すると、x˙p(t)=0\dot{x}_p(t) = 0、x¨p(t)=0\ddot{x}_p(t) = 0 となります。これを元の微分方程式に代入すると、3A=13A = 1 となり、A=13A = \frac{1}{3} となります。したがって、特解は xp(t)=13x_p(t) = \frac{1}{3} となります。
(3) 一般解は x(t)=xh(t)+xp(t)=c1e−t+c2e−3t+13x(t) = x_h(t) + x_p(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-3t} + \frac{1}{3} となります。
(b) x¨+3x˙+2x=e−t\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x = e^{-t}
(1) 同次方程式 x¨+3x˙+2x=0\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x = 0 の特性方程式は r2+3r+2=0r^2 + 3r + 2 = 0 であり、これを解くと r=−1,−2r = -1, -2 となります。したがって、同次方程式の一般解は xh(t)=c1e−t+c2e−2tx_h(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t} ( c1,c2c_1, c_2 は任意定数) となります。
(2) 特解を xp(t)=Ate−tx_p(t) = Ate^{-t} と仮定すると、x˙p(t)=Ae−t−Ate−t\dot{x}_p(t) = Ae^{-t} - Ate^{-t}、x¨p(t)=−Ae−t−Ae−t+Ate−t=−2Ae−t+Ate−t\ddot{x}_p(t) = -Ae^{-t} - Ae^{-t} + Ate^{-t} = -2Ae^{-t} + Ate^{-t} となります。これらを元の微分方程式に代入すると、
(−2A+At)e−t+3(A−At)e−t+2Ate−t=e−t(-2A + At)e^{-t} + 3(A - At)e^{-t} + 2Ate^{-t} = e^{-t}
(−2A+3A)e−t+(A−3A+2A)te−t=e−t(-2A + 3A)e^{-t} + (A - 3A + 2A)te^{-t} = e^{-t}
Ae−t=e−tAe^{-t} = e^{-t}
したがって、A=1A = 1 となり、特解は xp(t)=te−tx_p(t) = te^{-t} となります。
(3) 一般解は x(t)=xh(t)+xp(t)=c1e−t+c2e−2t+te−tx(t) = x_h(t) + x_p(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t} + te^{-t} となります。
(c) x¨+4x˙+3x=eit\ddot{x} + 4\dot{x} + 3x = e^{it}
(1) 同次方程式 x¨+4x˙+3x=0\ddot{x} + 4\dot{x} + 3x = 0 の特性方程式は r2+4r+3=0r^2 + 4r + 3 = 0 であり、これを解くと r=−1,−3r = -1, -3 となります。したがって、同次方程式の一般解は xh(t)=c1e−t+c2e−3tx_h(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-3t} ( c1,c2c_1, c_2 は任意定数) となります。
(2) 特解を xp(t)=Aeitx_p(t) = Ae^{it} と仮定すると、x˙p(t)=iAeit\dot{x}_p(t) = iAe^{it}、x¨p(t)=−Aeit\ddot{x}_p(t) = -Ae^{it} となります。これらを元の微分方程式に代入すると、
−Aeit+4iAeit+3Aeit=eit-Ae^{it} + 4iAe^{it} + 3Ae^{it} = e^{it}
(−A+4iA+3A)eit=eit(-A + 4iA + 3A)e^{it} = e^{it}
(2+4i)A=1(2 + 4i)A = 1
A=12+4i=2−4i(2+4i)(2−4i)=2−4i4+16=2−4i20=1−2i10A = \frac{1}{2 + 4i} = \frac{2 - 4i}{(2 + 4i)(2 - 4i)} = \frac{2 - 4i}{4 + 16} = \frac{2 - 4i}{20} = \frac{1 - 2i}{10}
したがって、A=1−2i10A = \frac{1 - 2i}{10} となり、特解は xp(t)=1−2i10eitx_p(t) = \frac{1 - 2i}{10}e^{it} となります。
(3) 一般解は x(t)=xh(t)+xp(t)=c1e−t+c2e−3t+1−2i10eitx(t) = x_h(t) + x_p(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-3t} + \frac{1 - 2i}{10}e^{it} となります。

3. 最終的な答え

(a) x(t)=c1e−t+c2e−3t+13x(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-3t} + \frac{1}{3}
(b) x(t)=c1e−t+c2e−2t+te−tx(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t} + te^{-t}
(c) x(t)=c1e−t+c2e−3t+1−2i10eitx(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-3t} + \frac{1 - 2i}{10}e^{it}

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