点(0, 2)から曲線 $y = x^3 - x^2 - 1$に引いた接線の方程式をすべて求めよ。

1. 問題の内容

点(0, 2)から曲線 $y = x^3 - x^2 - 1$に引いた接線の方程式をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

曲線 $y = x^3 - x^2 - 1$ 上の点$(t, t^3 - t^2 - 1)$における接線を考える。

$y' = 3x^2 - 2x$ より、接線の傾きは $3t^2 - 2t$となる。

よって、接線の方程式は

$y - (t^3 - t^2 - 1) = (3t^2 - 2t)(x - t)$

$y = (3t^2 - 2t)x - 3t^3 + 2t^2 + t^3 - t^2 - 1$

$y = (3t^2 - 2t)x - 2t^3 + t^2 - 1$

この接線が点(0, 2)を通るので、

$2 = (3t^2 - 2t)(0) - 2t^3 + t^2 - 1$

$2 = -2t^3 + t^2 - 1$

$2t^3 - t^2 + 3 = 0$

$(t + 1)(2t^2 - 3t + 3) = 0$

$2t^2 - 3t + 3 = 0$ の判別式をDとすると、$D = (-3)^2 - 4 * 2 * 3 = 9 - 24 = -15 < 0$なので、実数解は持たない。

よって、$t = -1$ のみが実数解となる。

$t = -1$のとき、接点の座標は$(-1, (-1)^3 - (-1)^2 - 1) = (-1, -1 - 1 - 1) = (-1, -3)$

接線の傾きは $3(-1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$

よって、接線の方程式は $y - (-3) = 5(x - (-1))$

$y + 3 = 5(x + 1)$

$y = 5x + 5 - 3$

$y = 5x + 2$

3. 最終的な答え

$y = 5x + 2$