関数 $y = x^3 - 3x^2 + 1$ について、接線の傾きが $-3$ となる点の座標と、その点における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 3x^2 + 1$ について、接線の傾きが $-3$ となる点の座標と、その点における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。導関数は接線の傾きを表します。

$y = x^3 - 3x^2 + 1$ を微分すると、

$y' = 3x^2 - 6x$

接線の傾きが $-3$ となる点を求めるため、$y' = -3$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6x = -3$

$3x^2 - 6x + 3 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

したがって、接線の傾きが $-3$ となる点の $x$ 座標は $1$ です。

次に、$x = 1$ を元の関数に代入して、$y$ 座標を求めます。

$y = (1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

よって、接線の傾きが $-3$ となる点の座標は $(1, -1)$ です。

最後に、点 $(1, -1)$ における接線の方程式を求めます。接線の傾きは $-3$ なので、接線の方程式は次のようになります。

$y - (-1) = -3(x - 1)$

$y + 1 = -3x + 3$

$y = -3x + 2$

よって、接線の方程式は $y = -3x + 2$ です。

3. 最終的な答え

点の座標は $(1, -1)$ であり、接線の方程式は $y = -3x + 2$ です。