関数 $y = 4x - \frac{1}{3}x^3$ が $x=ア$ で極大値 $イ$ を持つときの、$ア$と$イ$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 4x - \frac{1}{3}x^3$ が $x=ア$ で極大値 $イ$ を持つときの、$ア$と$イ$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を求めるための式を作ります。

$y' = \frac{d}{dx} (4x - \frac{1}{3}x^3) = 4 - x^2$

極値を取る$x$の値を求めるには、$y' = 0$となる$x$を求めます。

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

次に、2階微分を計算して、$x = 2$と$x = -2$のどちらが極大値を与えるか調べます。

$y'' = \frac{d}{dx} (4 - x^2) = -2x$

$x = 2$ のとき、$y'' = -2(2) = -4 < 0$ なので、$x = 2$ で極大値を取ります。

$x = -2$ のとき、$y'' = -2(-2) = 4 > 0$ なので、$x = -2$ で極小値を取ります。

したがって、$x = 2$で極大値を取るので、$ア = 2$です。

次に、$x = 2$を元の関数に代入して極大値を計算します。

$y(2) = 4(2) - \frac{1}{3}(2)^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}$

したがって、極大値は$\frac{16}{3}$なので、$イ = \frac{16}{3}$です。

3. 最終的な答え

$x = 2$ で極大値 $\frac{16}{3}$ を持つ。