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与えられた三角関数の方程式または不等式を解き、 $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で $\theta$ の値または範囲を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $2 \cos \theta + 1 = 0$ (2) $\cos \theta < - \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\sin (\theta - 45^\circ) = \frac{1}{2}$ (4) $\sqrt{3} \tan \theta + 1 < 0$

解析学三角関数三角方程式三角不等式角度
2025/6/19

1. 問題の内容

与えられた三角関数の方程式または不等式を解き、 0∘≦θ≦180∘0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ の範囲で θ\theta の値または範囲を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。
(1) 2cos⁡θ+1=02 \cos \theta + 1 = 0
(2) cos⁡θ<−32\cos \theta < - \frac{\sqrt{3}}{2}
(3) sin⁡(θ−45∘)=12\sin (\theta - 45^\circ) = \frac{1}{2}
(4) 3tan⁡θ+1<0\sqrt{3} \tan \theta + 1 < 0

2. 解き方の手順

(1)
2cos⁡θ+1=02 \cos \theta + 1 = 0 を cos⁡θ\cos \theta について解きます。
2cos⁡θ=−12 \cos \theta = -1
cos⁡θ=−12\cos \theta = - \frac{1}{2}
0∘≦θ≦180∘0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ の範囲で cos⁡θ=−12\cos \theta = - \frac{1}{2} となる θ\theta は、θ=120∘\theta = 120^\circ です。
(2)
cos⁡θ<−32\cos \theta < - \frac{\sqrt{3}}{2} を満たす θ\theta の範囲を求めます。
0∘≦θ≦180∘0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ の範囲で cos⁡θ=−32\cos \theta = - \frac{\sqrt{3}}{2} となる θ\theta は、θ=150∘\theta = 150^\circ です。
cos⁡θ\cos \theta は 0∘≦θ≦180∘0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ で θ\theta が大きくなるほど小さくなるので、cos⁡θ<−32\cos \theta < - \frac{\sqrt{3}}{2} となる θ\theta の範囲は、150∘<θ≦180∘150^\circ < \theta \leqq 180^\circ です。
(3)
sin⁡(θ−45∘)=12\sin (\theta - 45^\circ) = \frac{1}{2} を満たす θ\theta の値を求めます。
θ−45∘=α\theta - 45^\circ = \alpha とおくと、sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2} となります。
−45∘≦α≦135∘-45^\circ \leqq \alpha \leqq 135^\circ の範囲で sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2} となる α\alpha は、α=30∘\alpha = 30^\circ と α=150∘\alpha = 150^\circ です。
したがって、θ−45∘=30∘\theta - 45^\circ = 30^\circ または θ−45∘=150∘\theta - 45^\circ = 150^\circ となります。
θ=75∘\theta = 75^\circ または θ=195∘\theta = 195^\circ となります。
0∘≦θ≦180∘0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ の範囲なので、θ=75∘\theta = 75^\circ です。
(4)
3tan⁡θ+1<0\sqrt{3} \tan \theta + 1 < 0 を満たす θ\theta の範囲を求めます。
3tan⁡θ<−1\sqrt{3} \tan \theta < -1
tan⁡θ<−13\tan \theta < - \frac{1}{\sqrt{3}}
0∘≦θ≦180∘0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ の範囲で tan⁡θ=−13\tan \theta = - \frac{1}{\sqrt{3}} となる θ\theta は、θ=150∘\theta = 150^\circ です。
tan⁡θ\tan \theta は 90∘90^\circ で定義されないことと、90∘<θ<180∘90^\circ < \theta < 180^\circ で単調増加であることから、90∘<θ<150∘90^\circ < \theta < 150^\circ が求める範囲となります。

3. 最終的な答え

(1) θ=120∘\theta = 120^\circ
(2) 150∘<θ≦180∘150^\circ < \theta \leqq 180^\circ
(3) θ=75∘\theta = 75^\circ
(4) 90∘<θ<150∘90^\circ < \theta < 150^\circ

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