$f(x) = -x^2 + 4x$とする。 (1) 放物線$C: y = f(x)$と$x$軸の交点のうち、原点でない方をAとする。点Aの座標を求める。 (2) $x$軸と$C$が囲む部分の面積を求める。 (3) $C$上に点$P(t, -t^2 + 4t)$をとる。$f'(x)$を求め、$P$における$C$の接線$l$の方程式を求める。$l$が点(1, 7)を通るとき、$t$の値を求める。 (1, 7)を通り、$C$に接する直線のうち、傾きが正である直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 4x$とする。

(1) 放物線$C: y = f(x)$と$x$軸の交点のうち、原点でない方をAとする。点Aの座標を求める。

(2) $x$軸と$C$が囲む部分の面積を求める。

(3) $C$上に点$P(t, -t^2 + 4t)$をとる。$f'(x)$を求め、$P$における$C$の接線$l$の方程式を求める。$l$が点(1, 7)を通るとき、$t$の値を求める。

(1, 7)を通り、$C$に接する直線のうち、傾きが正である直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = -x^2 + 4x = -x(x-4)$なので、$f(x)=0$となるのは$x=0, 4$。原点でない交点は$x=4$。

よって、点Aの座標は(4, 0)。

(2)

$x$軸と$C$が囲む部分の面積は、

$\int_0^4 (-x^2 + 4x) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 \right]_0^4 = -\frac{1}{3}(4^3) + 2(4^2) = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{-64+96}{3} = \frac{32}{3}$。

(3)

$f'(x) = -2x + 4$。

点Pにおける接線の方程式は、

$y - (-t^2 + 4t) = f'(t)(x-t)$

$y = (-2t+4)(x-t) - t^2 + 4t$

$y = (-2t+4)x + 2t^2 - 4t - t^2 + 4t$

$y = (-2t+4)x + t^2$。

$l$が点(1, 7)を通るとき、

$7 = (-2t+4)(1) + t^2$

$7 = -2t+4 + t^2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t-3)(t+1) = 0$

$t = 3, -1$。

$t=3$のとき、接線の方程式は

$y = (-2(3)+4)x + 3^2 = -2x + 9$。傾きは-2。

$t=-1$のとき、接線の方程式は

$y = (-2(-1)+4)x + (-1)^2 = 6x + 1$。傾きは6。

求める直線は傾きが正なので、$y = 6x + 1$。

3. 最終的な答え

(1) 1: 4

(2) 2: 3, 3: 2, 4: 3

(3) 5: 2, 6: 4, 7: 2, 8: 4, 9: 2, 10: 3, 11: 1, 12: 6, 13: 1