問題は2つあります。 (1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求める。 (2) $n$が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0 < \theta < 1$) である。 $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求める。

(2) $n$が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0 < \theta < 1$) である。

$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求める。

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ であるから、

$\log(\frac{x-1}{x+1}) = \log(1 - \frac{1}{x}) - \log(1 + \frac{1}{x})$ となる。

$x \to +\infty$ のとき、 $\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\log(1+x) \approx x$ を用いると、

$\log(1 - \frac{1}{x}) \approx - \frac{1}{x}$ および $\log(1 + \frac{1}{x}) \approx \frac{1}{x}$ となる。

よって、

$\log(\frac{x-1}{x+1}) \approx - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = - \frac{2}{x}$ となる。

したがって、

$\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1}) = \lim_{x \to +\infty} x (-\frac{2}{x}) = -2$ となる。

(2) $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める。

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ を用いる。

$x = \frac{1}{3}$ なので、

$\sin \frac{1}{3} = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} (\frac{1}{3})^{2\ell+1} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{n\pi}{2})}{n!} (\frac{1}{3})^n$ となる。

$n = 3$ のとき、

$\sin \frac{1}{3} = \frac{(-1)^0}{(2(0)+1)!} (\frac{1}{3})^{2(0)+1} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{3!} (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{3} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{3\pi}{2})}{6} \frac{1}{27} = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{162}$ となる。

$0 < \theta < 1$ なので、 $0 < \frac{\theta}{3} < \frac{1}{3}$ であり、 $\cos(0) = 1$, $\cos(\frac{1}{3}) \approx 0.94495$ となるので、

$\frac{0.94495}{162} < \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{162} < \frac{1}{162}$ となる。

$\frac{1}{162} \approx 0.00617$ なので、 $\frac{1}{3} = 0.33333...$ であり、$0.33333 - 0.00617 = 0.32716$ となる。

$n = 5$ のとき、

$\sin \frac{1}{3} = \frac{(-1)^0}{1!} (\frac{1}{3})^1 + \frac{(-1)^1}{3!} (\frac{1}{3})^3 + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{5!} (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \frac{1}{27} + \frac{\sin(\frac{\theta}{3} + \frac{5\pi}{2})}{120} \frac{1}{243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{120 \times 243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}$ となる。

$\frac{1}{3} - \frac{1}{162} = \frac{54-1}{162} = \frac{53}{162} \approx 0.32716$

$\frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160} < \frac{1}{29160} \approx 0.00003$ なので、 $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$ となる。

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 0.3272