問題は以下の2つです。 (1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める。 (2) $n$ が奇数のとき、 $\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!}x^n$ ($0 < \theta < 1$) である。$\sin\frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める。

(2) $n$ が奇数のとき、

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!}x^n$ ($0 < \theta < 1$)

である。$\sin\frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求める。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

$\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を計算します。

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ と変形します。$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $t \to 0$ となります。

よって、

$\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log\left(\frac{1-t}{1+t}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$

ここで、$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots$ および $\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \dots$ を用いると、

$\log(1-t) - \log(1+t) = (-t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \dots) - (t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots) = -2t - \frac{2t^3}{3} - \dots$

よって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \dots}{t} = -2$

または、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{-1}{1-t} - \frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-1-t-1+t}{(1-t)(1+t)} = \lim_{t \to 0} \frac{-2}{1-t^2} = -2$

(2) $\sin\frac{1}{3}$ の計算

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{n\pi}{2}\right)}{n!}x^n$ を使います。

$x = \frac{1}{3}$ を代入します。小数第4位まで正しく求めれば良いので、$n=3, 5, 7$ などで試してみます。

$n=3$ のとき、$\frac{n-3}{2} = 0$ であり、$\sin x = \frac{\sin\left(\theta x + \frac{3\pi}{2}\right)}{3!}x^3 = -\frac{\cos(\theta x)}{6}x^3$ となります。$\theta$ の範囲から$-\frac{1}{6\cdot 3^3} \le \sin x \le \frac{1}{6\cdot 3^3}$ が成り立ちます。この精度では $\sin\frac{1}{3}$ は求められません。

$n=5$ のとき、$\frac{n-3}{2} = 1$ であり、

$\sin x = \frac{(-1)^0}{1!}x + \frac{(-1)^1}{3!}x^3 + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{5\pi}{2}\right)}{5!}x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin\left(\theta x + \frac{\pi}{2}\right)}{120}x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\cos(\theta x)}{120}x^5$

$\sin\frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6\cdot 3^3} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{120 \cdot 3^5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}$

$\frac{1}{3} = 0.33333\dots$, $\frac{1}{162} = 0.0061728395\dots$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{162} = 0.3271604938\dots$

$\frac{1}{29160} = 0.00003429\dots$

$\frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}$ の値は $0.0000$ を四捨五入しても影響がないので、$\sin\frac{1}{3} \approx 0.3272$ となります。

$n=7$ のとき、$\frac{n-3}{2} = 2$ であり、

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \frac{\sin(\theta x + \frac{7\pi}{2})}{7!}x^7 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{\cos(\theta x)}{5040}x^7$

$\sin\frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6\cdot 3^3} + \frac{1}{120 \cdot 3^5} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{5040 \cdot 3^7}$

$\frac{1}{120\cdot 3^5} = \frac{1}{29160} = 0.00003429\dots$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} = 0.3271604938 + 0.00003429 = 0.3271947838\dots$

$\frac{1}{5040 \cdot 3^7} = \frac{1}{11022480} = 0.0000000907\dots$

$\sin\frac{1}{3} \approx 0.3272$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -2$

(2) $\sin\frac{1}{3} \approx 0.3272$