次の不定積分を計算し、与えられた形式になるように定数の値を求めます。 $\int \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} dx = [ケ] \times \sin^{-1} \frac{x}{[コ]} + C$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算し、与えられた形式になるように定数の値を求めます。

$\int \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} dx = [ケ] \times \sin^{-1} \frac{x}{[コ]} + C$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} dx$

積分定数を除いて、 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1} \frac{x}{a}$ という公式を利用します。

今回の問題では、$a^2 = 4$ なので、$a = 2$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \sin^{-1} \frac{x}{2} + C_1$ （$C_1$ は積分定数）

これより、与えられた積分は、

$\int \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = 2 \sin^{-1} \frac{x}{2} + C$ （$C = 2C_1$ は積分定数）

よって、 $[ケ] = 2$ であり、 $[コ] = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$[ケ] = 2$

$[コ] = 2$