半径 $a$ の球の表面積が $4 \pi a^2$ で与えられることを、球面の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて示す。

1. 問題の内容

半径 $a$ の球の表面積が $4 \pi a^2$ で与えられることを、球面の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて示す。

2. 解き方の手順

球面の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を用いて、球面の表面積を計算する。

極座標変換を行う。

$x = a \sin\theta \cos\phi$

$y = a \sin\theta \sin\phi$

$z = a \cos\theta$

ここで、

$0 \leq \theta \leq \pi$

$0 \leq \phi \leq 2\pi$

位置ベクトル $\vec{r}(\theta, \phi)$ は、

$\vec{r}(\theta, \phi) = (a \sin\theta \cos\phi, a \sin\theta \sin\phi, a \cos\theta)$

面積素 $dS$ は、

$dS = |\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}| d\theta d\phi$

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = (a \cos\theta \cos\phi, a \cos\theta \sin\phi, -a \sin\theta)$

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = (-a \sin\theta \sin\phi, a \sin\theta \cos\phi, 0)$

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = (a^2 \sin^2\theta \cos\phi, a^2 \sin^2\theta \sin\phi, a^2 \sin\theta \cos\theta)$

$|\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}| = \sqrt{(a^2 \sin^2\theta \cos\phi)^2 + (a^2 \sin^2\theta \sin\phi)^2 + (a^2 \sin\theta \cos\theta)^2}$

$= \sqrt{a^4 \sin^4\theta (\cos^2\phi + \sin^2\phi) + a^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}$

$= \sqrt{a^4 \sin^4\theta + a^4 \sin^2\theta \cos^2\theta}$

$= \sqrt{a^4 \sin^2\theta (\sin^2\theta + \cos^2\theta)}$

$= \sqrt{a^4 \sin^2\theta}$

$= a^2 \sin\theta$

$dS = a^2 \sin\theta d\theta d\phi$

表面積 $S$ は、

$S = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} a^2 \sin\theta d\theta d\phi$

$= a^2 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta$

$= a^2 [\phi]_0^{2\pi} [-\cos\theta]_0^{\pi}$

$= a^2 (2\pi) (-\cos\pi + \cos 0)$

$= a^2 (2\pi) (-(-1) + 1)$

$= a^2 (2\pi) (2)$

$= 4\pi a^2$

3. 最終的な答え

$4\pi a^2$