与えられた3つの定積分を計算し、(1)～(3)に入る数値を求めます。 (1) $\int_{-7}^{7} (x^{111} + x^{11} + x) dx$ (2) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ (3) $\int_{1}^{\infty} e^{-x} dx$ (ただし、$e^{-\infty} = 0$ とする)

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算し、(1)～(3)に入る数値を求めます。

(1) $\int_{-7}^{7} (x^{111} + x^{11} + x) dx$

(2) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$

(3) $\int_{1}^{\infty} e^{-x} dx$ (ただし、$e^{-\infty} = 0$ とする)

2. 解き方の手順

(1) 定積分 $\int_{-7}^{7} (x^{111} + x^{11} + x) dx$ を計算します。

$x^{111}$, $x^{11}$, $x$ はすべて奇関数であるため、区間 $[-7, 7]$ での定積分は0になります。

したがって、

$\int_{-7}^{7} (x^{111} + x^{11} + x) dx = 0$

(2) 定積分 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ を計算します。

$\frac{1}{x}$ の原始関数は $\ln|x|$ です。

したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln|e| - \ln|1| = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

(3) 定積分 $\int_{1}^{\infty} e^{-x} dx$ を計算します。

$e^{-x}$ の原始関数は $-e^{-x}$ です。

したがって、

$\int_{1}^{\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} [-e^{-x}]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} - (-e^{-1})) = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + e^{-1})$

ここで、$e^{-\infty} = 0$ より、$\lim_{t \to \infty} e^{-t} = 0$ なので、

$\int_{1}^{\infty} e^{-x} dx = -0 + e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1

(3) $\frac{1}{e}$