$t = ax + b$ とおいて、指定された積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの積分を求めます。 (1) $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx$ (2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx$ (3) $\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx$ (4) $\int \sin(2x+\frac{\pi}{6}) dx$

1. 問題の内容

$t = ax + b$ とおいて、指定された積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの積分を求めます。

(1) $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx$

(3) $\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx$

(4) $\int \sin(2x+\frac{\pi}{6}) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx$

$t = 5x + 2$ とおくと、$dt = 5dx$ より $dx = \frac{1}{5}dt$。

したがって、

$\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx = \int \frac{1}{t^3} \frac{1}{5} dt = \frac{1}{5} \int t^{-3} dt = \frac{1}{5} \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{10t^2} + C = -\frac{1}{10(5x+2)^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx$

$t = -x - 4$ とおくと、$dt = -dx$ より $dx = -dt$。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} (-dt) = -\int t^{-\frac{1}{2}} dt = - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -2\sqrt{t} + C = -2\sqrt{-x-4} + C$

(3) $\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx$

$\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx = \int e^{x+3} dx$

$t = x+3$ とおくと、$dt = dx$

$\int e^{x+3} dx = \int e^t dt = e^t + C = e^{x+3} + C$

(4) $\int \sin(2x+\frac{\pi}{6}) dx$

$t = 2x + \frac{\pi}{6}$ とおくと、$dt = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} dt$。

したがって、

$\int \sin(2x+\frac{\pi}{6}) dx = \int \sin(t) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \sin(t) dt = \frac{1}{2} (-\cos(t)) + C = -\frac{1}{2} \cos(2x+\frac{\pi}{6}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx = -\frac{1}{10(5x+2)^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx = -2\sqrt{-x-4} + C$

(3) $\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx = e^{x+3} + C$

(4) $\int \sin(2x+\frac{\pi}{6}) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x+\frac{\pi}{6}) + C$