与えられた4つの積分を、指示された変数変換 $t=ax+b$ を利用して計算する問題です。公式 15.1 が何か不明ですが、積分公式を利用していくことと解釈します。

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を、指示された変数変換 $t=ax+b$ を利用して計算する問題です。公式 15.1 が何か不明ですが、積分公式を利用していくことと解釈します。

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$

$t = 4-x$ と置換すると、$x = 4-t$、$dx = -dt$。よって、

$\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx = \int \frac{4-t+2}{t^3} (-dt) = -\int \frac{6-t}{t^3} dt = -\int (6t^{-3} - t^{-2}) dt = -[6 \frac{t^{-2}}{-2} - \frac{t^{-1}}{-1}] + C = \frac{3}{t^2} - \frac{1}{t} + C = \frac{3}{(4-x)^2} - \frac{1}{4-x} + C = \frac{3 - (4-x)}{(4-x)^2} + C = \frac{x-1}{(4-x)^2} + C$

(2) $\int (x+1)(2x+3)^2 dx$

$t = 2x+3$と置換すると、$x = \frac{t-3}{2}$、$dx = \frac{1}{2}dt$。よって、$x+1 = \frac{t-3}{2}+1 = \frac{t-1}{2}$

$\int (x+1)(2x+3)^2 dx = \int (\frac{t-1}{2})t^2 \frac{1}{2}dt = \frac{1}{4} \int (t^3-t^2)dt = \frac{1}{4}[\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3}] + C = \frac{1}{16}(2x+3)^4 - \frac{1}{12}(2x+3)^3 + C$

(3) $\int (x-1)\sqrt{x+2} dx$

$t = x+2$と置換すると、$x = t-2$、$dx = dt$。よって、$x-1 = t-2-1 = t-3$

$\int (x-1)\sqrt{x+2} dx = \int (t-3)\sqrt{t} dt = \int (t^{3/2} - 3t^{1/2})dt = \frac{t^{5/2}}{5/2} - 3\frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5} (x+2)^{5/2} - 2(x+2)^{3/2} + C$

(4) $\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$

$t = 1-3x$と置換すると、$x = \frac{1-t}{3}$、$dx = -\frac{1}{3}dt$

$\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx = \int \frac{3\frac{1-t}{3}}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{3})dt = -\frac{1}{3} \int \frac{1-t}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{3} \int (t^{-1/2} - t^{1/2})dt = -\frac{1}{3}[ \frac{t^{1/2}}{1/2} - \frac{t^{3/2}}{3/2} ] + C = -\frac{1}{3} [2\sqrt{t} - \frac{2}{3}t^{3/2}] + C = -\frac{2}{3} \sqrt{1-3x} + \frac{2}{9}(1-3x)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-1}{(4-x)^2} + C$

(2) $\frac{1}{16}(2x+3)^4 - \frac{1}{12}(2x+3)^3 + C$

(3) $\frac{2}{5} (x+2)^{5/2} - 2(x+2)^{3/2} + C$

(4) $-\frac{2}{3} \sqrt{1-3x} + \frac{2}{9}(1-3x)^{3/2} + C$