不定積分 $\int x\sqrt{x-3}dx$ を計算し、その結果を $\frac{[オ]}{[カ]} \times (x+[キ])(x+[ク])^{\frac{3}{2}} + C$ の形で表す問題です。ここで、[オ]、[カ]、[キ]、[ク]に当てはまる数字を求める必要があります。

1. 問題の内容

不定積分 $\int x\sqrt{x-3}dx$ を計算し、その結果を $\frac{[オ]}{[カ]} \times (x+[キ])(x+[ク])^{\frac{3}{2}} + C$ の形で表す問題です。ここで、[オ]、[カ]、[キ]、[ク]に当てはまる数字を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$u = x-3$ と置換します。すると、$x = u+3$ となり、$dx = du$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int x\sqrt{x-3}dx = \int (u+3)\sqrt{u}du = \int (u^{3/2} + 3u^{1/2})du$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int u^{3/2} du = \frac{2}{5}u^{5/2} + C_1$

$\int 3u^{1/2} du = 3 \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C_2 = 2u^{3/2} + C_2$

したがって、

$\int (u^{3/2} + 3u^{1/2})du = \frac{2}{5}u^{5/2} + 2u^{3/2} + C$

$= \frac{2}{5}u^{3/2}(u + 5) + C$

$u = x-3$ を代入して、$u$ を $x$ に戻します。

$= \frac{2}{5}(x-3)^{3/2}(x-3+5) + C$

$= \frac{2}{5}(x-3)^{3/2}(x+2) + C$

$= \frac{2}{5}(x+2)(x-3)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\int x\sqrt{x-3}dx = \frac{2}{5}(x+2)(x-3)^{\frac{3}{2}} + C$

したがって、[オ] = 2、[カ] = 5、[キ] = 2、[ク] = -3 です。

$\frac{[オ]}{[カ]} \times (x+[キ])(x+[ク])^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{5} \times (x+2)(x-3)^{\frac{3}{2}} + C$