次の関数を微分せよ。ただし、$a$は定数とする。 (1) $y = (x+2)^3 (x-3)^4$ (7) $y = (1+x^2)\sqrt{4-x^2}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。ただし、$a$は定数とする。

(1) $y = (x+2)^3 (x-3)^4$

(7) $y = (1+x^2)\sqrt{4-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x+2)^3 (x-3)^4$の場合:

積の微分公式$(uv)' = u'v + uv'$を用いる。

$u = (x+2)^3$、$v = (x-3)^4$とおくと、

$u' = 3(x+2)^2$

$v' = 4(x-3)^3$

したがって、

$y' = 3(x+2)^2 (x-3)^4 + (x+2)^3 4(x-3)^3$

共通因数$(x+2)^2 (x-3)^3$でくくると、

$y' = (x+2)^2 (x-3)^3 [3(x-3) + 4(x+2)]$

$= (x+2)^2 (x-3)^3 [3x-9+4x+8]$

$= (x+2)^2 (x-3)^3 (7x-1)$

(7) $y = (1+x^2)\sqrt{4-x^2}$の場合:

積の微分公式$(uv)' = u'v + uv'$を用いる。

$u = (1+x^2)$、$v = \sqrt{4-x^2}=(4-x^2)^{\frac{1}{2}}$とおくと、

$u' = 2x$

$v' = \frac{1}{2}(4-x^2)^{-\frac{1}{2}} (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$

したがって、

$y' = 2x \sqrt{4-x^2} + (1+x^2) \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$

$= \frac{2x(4-x^2) - x(1+x^2)}{\sqrt{4-x^2}}$

$= \frac{8x - 2x^3 - x - x^3}{\sqrt{4-x^2}}$

$= \frac{7x - 3x^3}{\sqrt{4-x^2}}$

$= \frac{x(7-3x^2)}{\sqrt{4-x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (x+2)^2 (x-3)^3 (7x-1)$

(7) $y' = \frac{x(7-3x^2)}{\sqrt{4-x^2}}$