$y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$ とする ($a$ は 0 でない定数, $b$ は定数)。 $u = a^2 - x^2$ とおくとき、$\frac{dy}{du}$、$\frac{du}{dx}$、$\frac{dy}{dx}$ を計算し、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

$y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$ とする ($a$ は 0 でない定数, $b$ は定数)。 $u = a^2 - x^2$ とおくとき、$\frac{dy}{du}$、$\frac{du}{dx}$、$\frac{dy}{dx}$ を計算し、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $u$ で表します。

$y = \frac{b}{a}\sqrt{u} = \frac{b}{a}u^{\frac{1}{2}}$

したがって、$ア$ は $\frac{1}{2}$ となります。

次に、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$\frac{dy}{du} = \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{b}{2a\sqrt{u}}$

したがって、$ウ$ は $\frac{1}{2}$ となります。

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(a^2 - x^2) = -2x$

したがって、$エ$ は $-2$ となります。

最後に、$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{b}{2a\sqrt{u}} \cdot (-2x) = \frac{-bx}{a\sqrt{u}} = \frac{-bx}{a\sqrt{a^2 - x^2}}$

したがって、$オ$ は $-1$ となります。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{2}$

ウ: $\frac{1}{2}$

エ: $-2$

オ: $-1$