関数 $f(x) = (x+1)e^{7x+3}$ が与えられたとき、導関数 $f'(x)$ が 0 となる $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x+1)e^{7x+3}$ が与えられたとき、導関数 $f'(x)$ が 0 となる $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。積の微分法を用いる。

$f(x) = (x+1)e^{7x+3}$ より、

$f'(x) = (x+1)'e^{7x+3} + (x+1)(e^{7x+3})'$

$(x+1)' = 1$

$(e^{7x+3})' = 7e^{7x+3}$

したがって、

$f'(x) = e^{7x+3} + (x+1)7e^{7x+3} = e^{7x+3} + 7(x+1)e^{7x+3}$

$e^{7x+3}$ でくくると、

$f'(x) = e^{7x+3}(1 + 7(x+1)) = e^{7x+3}(1 + 7x + 7) = e^{7x+3}(7x + 8)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$e^{7x+3}(7x+8) = 0$

$e^{7x+3}$ は常に正であるから、$e^{7x+3} \neq 0$ である。

したがって、$7x + 8 = 0$ を解けばよい。

$7x = -8$

$x = -\frac{8}{7}$

3. 最終的な答え

$x = -\frac{8}{7}$