$a$ と $k$ は定数で、$0 < a < 1$, $k > 0$ とする。関数 $f(x)$ を $f(x) = kx^2$ とし、$x \geq 0$ において、放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = f(a)$ と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S_1$ とし、放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = f(a)$ と直線 $x = 1$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とする。 また、$A$ から $F$ をそれぞれ以下の値とする。 $A = \int_0^1 f(x) dx$, $B = \int_0^a f(x) dx$, $C = \int_a^1 f(x) dx$ $D = \int_0^1 f(a) dx$, $E = \int_0^a f(a) dx$, $F = \int_a^1 f(a) dx$ (1) $A$ から $F$ についての記述として正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

$a$ と $k$ は定数で、$0 < a < 1$, $k > 0$ とする。関数 $f(x)$ を $f(x) = kx^2$ とし、$x \geq 0$ において、放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = f(a)$ と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S_1$ とし、放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = f(a)$ と直線 $x = 1$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とする。

また、$A$ から $F$ をそれぞれ以下の値とする。

$A = \int_0^1 f(x) dx$, $B = \int_0^a f(x) dx$, $C = \int_a^1 f(x) dx$

$D = \int_0^1 f(a) dx$, $E = \int_0^a f(a) dx$, $F = \int_a^1 f(a) dx$

(1) $A$ から $F$ についての記述として正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ の積分を計算する。

$A = \int_0^1 kx^2 dx = \left[ \frac{1}{3} kx^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3}k$

$B = \int_0^a kx^2 dx = \left[ \frac{1}{3} kx^3 \right]_0^a = \frac{1}{3}ka^3$

$C = \int_a^1 kx^2 dx = \left[ \frac{1}{3} kx^3 \right]_a^1 = \frac{1}{3}k - \frac{1}{3}ka^3 = \frac{1}{3}k(1 - a^3)$

$D = \int_0^1 ka^2 dx = \left[ ka^2 x \right]_0^1 = ka^2$

$E = \int_0^a ka^2 dx = \left[ ka^2 x \right]_0^a = ka^3$

$F = \int_a^1 ka^2 dx = \left[ ka^2 x \right]_a^1 = ka^2 - ka^3 = ka^2(1 - a)$

(iv) $A$, $B$, $C$ の関係について考える。

$B + C = \frac{1}{3}ka^3 + \frac{1}{3}k(1 - a^3) = \frac{1}{3}k = A$

よって、$A = B + C$ が常に成り立つ。

(v) $D$, $E$, $F$ の関係について考える。

$E + F = ka^3 + ka^2(1 - a) = ka^3 + ka^2 - ka^3 = ka^2 = D$

よって、$D = E + F$ が常に成り立つ。

3. 最終的な答え

ア：0

オ：0