$x > 0$ の範囲で、関数 $f(x) = x^2 \log(\frac{x}{3})$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ が 0 になる $x$ の値を、$f'(x) = 0$ を解くことによって求めます。解は $e$ を使った形で表します。

1. 問題の内容

$x > 0$ の範囲で、関数 $f(x) = x^2 \log(\frac{x}{3})$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ が 0 になる $x$ の値を、$f'(x) = 0$ を解くことによって求めます。解は $e$ を使った形で表します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を用いると、

$f'(x) = (x^2)' \log(\frac{x}{3}) + x^2 (\log(\frac{x}{3}))'$

$f'(x) = 2x \log(\frac{x}{3}) + x^2 \cdot \frac{1}{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3}$

$f'(x) = 2x \log(\frac{x}{3}) + x^2 \cdot \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{3}$

$f'(x) = 2x \log(\frac{x}{3}) + x$

次に、$f'(x) = 0$ を解きます。

$2x \log(\frac{x}{3}) + x = 0$

$x(2 \log(\frac{x}{3}) + 1) = 0$

$x > 0$ なので、$2 \log(\frac{x}{3}) + 1 = 0$ となります。

$2 \log(\frac{x}{3}) = -1$

$\log(\frac{x}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\frac{x}{3} = e^{-\frac{1}{2}}$

$x = 3e^{-\frac{1}{2}}$

$x = \frac{3}{\sqrt{e}}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{\sqrt{e}}$