$f(x) = kx^2$（$k > 0$）とし、$0 < a < 1$ とする。 $A = \int_0^1 f(x)dx$, $B = \int_0^a f(x)dx$, $C = \int_a^1 f(x)dx$, $D = \int_0^1 f(a)dx$, $E = \int_0^a f(a)dx$, $F = \int_a^1 f(a)dx$ のとき、以下の(i), (ii), (iii)のそれぞれについて正しい選択肢を選ぶ問題。 (i) AとDの大小関係 (ii) BとEの大小関係 (iii) CとFの大小関係

1. 問題の内容

$f(x) = kx^2$（$k > 0$）とし、$0 < a < 1$ とする。

$A = \int_0^1 f(x)dx$, $B = \int_0^a f(x)dx$, $C = \int_a^1 f(x)dx$, $D = \int_0^1 f(a)dx$, $E = \int_0^a f(a)dx$, $F = \int_a^1 f(a)dx$ のとき、以下の(i), (ii), (iii)のそれぞれについて正しい選択肢を選ぶ問題。

(i) AとDの大小関係

(ii) BとEの大小関係

(iii) CとFの大小関係

2. 解き方の手順

(i)

$A = \int_0^1 kx^2 dx = \frac{k}{3}x^3 \Big|_0^1 = \frac{k}{3}$

$D = \int_0^1 f(a)dx = \int_0^1 ka^2 dx = ka^2 x \Big|_0^1 = ka^2$

$A - D = \frac{k}{3} - ka^2 = k(\frac{1}{3} - a^2)$

$0 < a < 1$より、$a^2 < 1$であり、$a^2$の値によって$\frac{1}{3} - a^2$の符号は変わる。

例えば、$a = \frac{1}{2}$のとき、$\frac{1}{3} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} > 0$なので、$A > D$

$a = \frac{3}{4}$のとき、$\frac{1}{3} - (\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{3} - \frac{9}{16} = \frac{16 - 27}{48} = -\frac{11}{48} < 0$なので、$A < D$

したがって、$A \le D$が成り立たない$a$も、$A \ge D$が成り立たない$a$も存在する。

(ii)

$B = \int_0^a kx^2 dx = \frac{k}{3}x^3 \Big|_0^a = \frac{ka^3}{3}$

$E = \int_0^a f(a)dx = \int_0^a ka^2 dx = ka^2 x \Big|_0^a = ka^3$

$B - 3E = \frac{ka^3}{3} - 3(ka^3) = ka^3 (\frac{1}{3} - 3) = -\frac{8}{3} ka^3 \neq 0$

$3B = E$ が成り立つか確認: $3B = 3(\frac{ka^3}{3}) = ka^3 = E$。 よって、$3B = E$は常に成り立つ。

(iii)

$C = \int_a^1 kx^2 dx = \frac{k}{3}x^3 \Big|_a^1 = \frac{k}{3} - \frac{ka^3}{3} = \frac{k}{3}(1 - a^3)$

$F = \int_a^1 f(a)dx = \int_a^1 ka^2 dx = ka^2 x \Big|_a^1 = ka^2 - ka^3 = ka^2(1-a)$

$C - F = \frac{k}{3}(1-a^3) - ka^2(1-a) = \frac{k}{3}(1-a)(1+a+a^2) - ka^2(1-a) = \frac{k(1-a)}{3}(1+a+a^2 - 3a^2) = \frac{k(1-a)}{3}(1+a-2a^2) = \frac{k(1-a)(1-a)(1+2a)}{3} = \frac{k(1-a)^2(1+2a)}{3}$

$0 < a < 1$より、$k > 0$, $(1-a)^2 > 0$, $(1+2a) > 0$ なので、$C - F > 0$

したがって、$C > F$が常に成り立つ。

3. 最終的な答え

(i) 2

(ii) 1

(iii) 1