次の関数の最大値・最小値とそのときの$x$の値を求めます。 (1) $y = \log_3 x$ ($1 \le x \le 3\sqrt{3}$) (2) $y = -\log_3 x$ ($\sqrt{3} \le x \le 3$) (3) $y = \log_2 (-x)$ ($-16 \le x \le -2\sqrt{2}$) (4) $y = \log_{\frac{1}{2}} x^2$ ($\frac{1}{4} \le x \le 2$)

はい、承知いたしました。問題163の(1)から(4)までを解きます。

1. 問題の内容

次の関数の最大値・最小値とそのときの$x$の値を求めます。

(1) $y = \log_3 x$ ($1 \le x \le 3\sqrt{3}$)

(2) $y = -\log_3 x$ ($\sqrt{3} \le x \le 3$)

(3) $y = \log_2 (-x)$ ($-16 \le x \le -2\sqrt{2}$)

(4) $y = \log_{\frac{1}{2}} x^2$ ($\frac{1}{4} \le x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \log_3 x$ ($1 \le x \le 3\sqrt{3}$)

対数の底が3で1より大きいので、$x$が増加すると$y$も増加します。

$x = 1$のとき、$y = \log_3 1 = 0$（最小値）

$x = 3\sqrt{3} = 3^{\frac{3}{2}}$のとき、$y = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$（最大値）

(2) $y = -\log_3 x$ ($\sqrt{3} \le x \le 3$)

対数の底が3で1より大きいので、$x$が増加すると$\log_3 x$も増加します。しかし、$-\log_3 x$なので、$x$が増加すると$y$は減少します。

$x = \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$のとき、$y = -\log_3 3^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$（最大値）

$x = 3$のとき、$y = -\log_3 3 = -1$（最小値）

(3) $y = \log_2 (-x)$ ($-16 \le x \le -2\sqrt{2}$)

$-x$の範囲は、$2\sqrt{2} \le -x \le 16$となります。

対数の底が2で1より大きいので、$-x$が増加すると$y$も増加します。つまり、$x$が減少すると$y$は増加します。

$x = -16$のとき、$y = \log_2 (-(-16)) = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$（最小値）

$x = -2\sqrt{2} = -2^{\frac{3}{2}}$のとき、$y = \log_2 (-(-2\sqrt{2})) = \log_2 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$（最大値）

(4) $y = \log_{\frac{1}{2}} x^2$ ($\frac{1}{4} \le x \le 2$)

$x^2$の範囲は、$\frac{1}{16} \le x^2 \le 4$となります。

対数の底が$\frac{1}{2}$で1より小さいので、$x^2$が増加すると$y$は減少します。

$x^2 = \frac{1}{16}$ ($x=\frac{1}{4}$)のとき、$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^4 = 4$（最大値）

$x^2 = 4$ ($x=2$)のとき、$y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-2} = -2$（最小値）

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$のとき、最小値$0$。$x = 3\sqrt{3}$のとき、最大値$\frac{3}{2}$。

(2) $x = \sqrt{3}$のとき、最大値$-\frac{1}{2}$。$x = 3$のとき、最小値$-1$。

(3) $x = -16$のとき、最小値$4$。$x = -2\sqrt{2}$のとき、最大値$\frac{3}{2}$。

(4) $x = \frac{1}{4}$のとき、最大値$4$。$x = 2$のとき、最小値$-2$。