はい、承知いたしました。画像にある問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある問題を解きます。

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1. 問題の内容**

1. 関数 $y = x \log x$ の極値を求めよ。

2. 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2}$ をマクローリンの定理を用いて求めよ。

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2. 解き方の手順**

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1. 関数 $y = x \log x$ の極値を求める**

* **ステップ1: 導関数を求める**

$y = x \log x$ を $x$ で微分します。積の微分公式を用います。

$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(x) \log x + x \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

したがって、

$y' = \log x + 1$

* **ステップ2: 極値の候補を求める**

$y'=0$ となる $x$ を求めます。

$\log x + 1 = 0$

$\log x = -1$

$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

* **ステップ3: 二階導関数を求める**

$y' = \log x + 1$ を $x$ で微分します。

$y'' = \frac{d}{dx}(\log x + 1) = \frac{1}{x}$

* **ステップ4: 極値を判定する**

$x = \frac{1}{e}$ における二階導関数の値を調べます。

$y''\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{\frac{1}{e}} = e > 0$

$y''\left(\frac{1}{e}\right) > 0$ なので、$x = \frac{1}{e}$ で極小値をとります。

* **ステップ5: 極小値を求める**

$x = \frac{1}{e}$ を元の関数 $y = x \log x$ に代入します。

$y\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \log\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \log(e^{-1}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$

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2. 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2}$ をマクローリンの定理を用いて求める**

* **ステップ1: $\log(1+x)$ のマクローリン展開を求める**

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

* **ステップ2: 極限の式に代入する**

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots)}{x^2}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - \dots}{x^2}$

$= \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{4} - \dots\right)$

* **ステップ3: 極限を計算する**

$x \to 0$ のとき、$\frac{x}{3}, \frac{x^2}{4}, \dots$ は 0 に近づくので、

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{4} - \dots\right) = \frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え**

1. 関数 $y = x \log x$ は $x = \frac{1}{e}$ のとき極小値 $-\frac{1}{e}$ をとる。

2. $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2}$