与えられた関数 $f(x)$ がすべての実数で連続となるように、定数 $a$ の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、$a$ の値を求めます。 (1) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$ (2) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} & (x \neq 2) \\ a & (x = 2) \end{cases}$ (3) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + 8}{x + 2} & (x \neq -2) \\ a & (x = -2) \end{cases}$ (4) $f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} & (x \neq 1) \\ a & (x = 1) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ がすべての実数で連続となるように、定数 $a$ の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、$a$ の値を求めます。

(1) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

(2) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} & (x \neq 2) \\ a & (x = 2) \end{cases}$

(3) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + 8}{x + 2} & (x \neq -2) \\ a & (x = -2) \end{cases}$

(4) $f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} & (x \neq 1) \\ a & (x = 1) \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x = c$ で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

(1) $f(c)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to c} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$

それぞれの関数について、定義域が分かれている点における極限値を計算し、$f(x)$ が連続となるように $a$ の値を決定します。

(1) $x = 0$ での連続性を考える。

$x \neq 0$ のとき、$f(x) = \frac{x^3 + x}{x} = x^2 + 1$

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 + 1) = 1$

連続となるためには、$a = f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = 1$

(2) $x = 2$ での連続性を考える。

$x \neq 2$ のとき、$f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = x + 1$

$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 3$

連続となるためには、$a = f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) = 3$

(3) $x = -2$ での連続性を考える。

$x \neq -2$ のとき、$f(x) = \frac{x^3 + 8}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2} = x^2 - 2x + 4$

$\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4) = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

連続となるためには、$a = f(-2) = \lim_{x \to -2} f(x) = 12$

(4) $x = 1$ での連続性を考える。

$x \neq 1$ のとき、$f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 1$

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (\sqrt{x} + 1) = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$

連続となるためには、$a = f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $a = 3$

(3) $a = 12$

(4) $a = 2$