与えられた5つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x - 8)$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 3} \frac{x - \sqrt{2x + 3}}{x - 3}$ (4) $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2}$ (5) $\lim_{x \to 1-0} \frac{2}{x - 1}$

1. 問題の内容

与えられた5つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x - 8)$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 3} \frac{x - \sqrt{2x + 3}}{x - 3}$

(4) $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2}$

(5) $\lim_{x \to 1-0} \frac{2}{x - 1}$

2. 解き方の手順

(1)

$x$に2を代入します。

$\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x - 8) = (2)^2 + 5(2) - 8 = 4 + 10 - 8 = 6$

(2)

$x$で分子を約分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 3)}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 3)$

$x$に0を代入します。

$\lim_{x \to 0} (x + 3) = 0 + 3 = 3$

(3)

$\lim_{x \to 3} \frac{x - \sqrt{2x + 3}}{x - 3}$

分子を有理化します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x - \sqrt{2x + 3}}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - \sqrt{2x + 3})(x + \sqrt{2x + 3})}{(x - 3)(x + \sqrt{2x + 3})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - (2x + 3)}{(x - 3)(x + \sqrt{2x + 3})} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 3)(x + \sqrt{2x + 3})}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + \sqrt{2x + 3})} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x + \sqrt{2x + 3}}$

$x$に3を代入します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x + \sqrt{2x + 3}} = \frac{3 + 1}{3 + \sqrt{2(3) + 3}} = \frac{4}{3 + \sqrt{9}} = \frac{4}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

(4)

$x$が3に近づくと、$(x - 3)^2$は0に近づきます。したがって、$\frac{1}{(x - 3)^2}$は正の無限大に発散します。

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2} = \infty$

(5)

$x$が1に、1より小さい側から近づくと、$x - 1$は負の数で0に近づきます。したがって、$\frac{2}{x - 1}$は負の無限大に発散します。

$\lim_{x \to 1-0} \frac{2}{x - 1} = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 3

(3) $\frac{2}{3}$

(4) $\infty$

(5) $-\infty$