$f(x) = kx^2$ ($k > 0$, $x \ge 0$) が与えられている。 $A = \int_{0}^{a} f(x) dx$, $B = \int_{a}^{1} f(x) dx$, $C = \int_{0}^{1} f(x) dx$, $D = \int_{0}^{a} f(a) dx$, $E = \int_{a}^{1} f(a) dx$, $F = \int_{0}^{1} f(a) dx$ ア、イ、ウについて、与えられた選択肢の中から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

$f(x) = kx^2$ ($k > 0$, $x \ge 0$) が与えられている。

$A = \int_{0}^{a} f(x) dx$, $B = \int_{a}^{1} f(x) dx$, $C = \int_{0}^{1} f(x) dx$,

$D = \int_{0}^{a} f(a) dx$, $E = \int_{a}^{1} f(a) dx$, $F = \int_{0}^{1} f(a) dx$

ア、イ、ウについて、与えられた選択肢の中から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = kx^2$を使って、AからFの積分を計算する。

$A = \int_{0}^{a} kx^2 dx = \frac{k}{3}x^3 |_{0}^{a} = \frac{ka^3}{3}$

$B = \int_{a}^{1} kx^2 dx = \frac{k}{3}x^3 |_{a}^{1} = \frac{k}{3} - \frac{ka^3}{3} = \frac{k(1 - a^3)}{3}$

$C = \int_{0}^{1} kx^2 dx = \frac{k}{3}x^3 |_{0}^{1} = \frac{k}{3}$

$D = \int_{0}^{a} ka^2 dx = ka^2 x |_{0}^{a} = ka^3$

$E = \int_{a}^{1} ka^2 dx = ka^2 x |_{a}^{1} = ka^2 - ka^3 = ka^2(1 - a)$

$F = \int_{0}^{1} ka^2 dx = ka^2 x |_{0}^{1} = ka^2$

(i) アについて：AとDの大小関係を見る。

$A = \frac{ka^3}{3}$, $D = ka^3$

$A \le D$ が常に成り立つ。

$a$の値に関係なく、$A \le D$が成り立つ。

よって、アの解答群は0。

(ii) イについて：BとEの関係を見る。

$B = \frac{k(1 - a^3)}{3}$, $E = ka^2(1 - a)$

$B - 3E = \frac{k(1 - a^3)}{3} - 3ka^2(1 - a) = \frac{k(1 - a)(1 + a + a^2) - 9ka^2(1 - a)}{3} = \frac{k(1 - a)(1 + a + a^2 - 9a^2)}{3} = \frac{k(1 - a)(1 + a - 8a^2)}{3}$

$3B - E = k(1 - a^3) - ka^2(1 - a) = k(1 - a^3 - a^2 + a^3) = k(1 - a^2) = k(1 - a)(1 + a)$

$3B = E$ が成り立つためには、$3B-E=0$である必要がある。$k(1-a)(1+a)=0$なので、$a=1$もしくは$a=-1$となる。

しかし、$0 < a < 1$より、$3B - E \neq 0$

よって、$3B - E$ はaの値によって符号が変わる。

よって、イの解答群は2。

(iii) ウについて：CとFの関係を見る。

$C = \frac{k}{3}$, $F = ka^2$

$C - F = \frac{k}{3} - ka^2 = k(\frac{1}{3} - a^2)$

$a$ の値によって、$C < F$ となる場合と $C > F$ となる場合がある。例えば、$a = 0.1$なら $C > F$, $a = 0.6$なら $C < F$.

よって、ウの解答群は2。

3. 最終的な答え

ア：0

イ：2

ウ：2