与えられた関数 $f(x,y)$ に対して、点 $(0,0)$ における方向ベクトル $\mathbf{l} = (\cos \theta, \sin \theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)$ を求めます。関数は以下の3つです。 (1) $f(x,y) = \cos x + \sin y$ (2) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ (3) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y)$ に対して、点 $(0,0)$ における方向ベクトル $\mathbf{l} = (\cos \theta, \sin \theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)$ を求めます。関数は以下の3つです。

(1) $f(x,y) = \cos x + \sin y$

(2) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

(3) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

方向微分係数は、定義より

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t\cos \theta, 0 + t\sin \theta) - f(0,0)}{t}$

で計算できます。

(1) $f(x,y) = \cos x + \sin y$ の場合

$f(0,0) = \cos 0 + \sin 0 = 1$.

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t \cos \theta) + \sin(t \sin \theta) - 1}{t}$

$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$, $\sin x \approx x$ for small $x$.

よって

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \frac{(t \cos \theta)^2}{2} + t \sin \theta - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t \sin \theta - \frac{t^2 \cos^2 \theta}{2}}{t} = \lim_{t \to 0} (\sin \theta - \frac{t \cos^2 \theta}{2}) = \sin \theta$

(2) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ の場合

$f(0,0) = 0$.

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \theta, t \sin \theta) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t \cos \theta |t \sin \theta|}{\sqrt{(t \cos \theta)^2 + (t \sin \theta)^2}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t \cos \theta |t \sin \theta|}{t \sqrt{t^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos \theta |\sin \theta|}{t |t|} = \cos \theta |\sin \theta|$.

(3) $f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ の場合

$f(0,0) = 0$.

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \theta, t \sin \theta) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t \cos \theta t \sin \theta \sin \frac{1}{\sqrt{(t \cos \theta)^2 + (t \sin \theta)^2}}}{\sqrt{(t \cos \theta)^2 + (t \sin \theta)^2}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^2 \cos \theta \sin \theta \sin \frac{1}{|t|}}{t}}{t} = \lim_{t \to 0} \cos \theta \sin \theta \sin \frac{1}{|t|}$.

$t \to 0$ のとき $\frac{1}{|t|} \to \infty$ であり、$\sin \frac{1}{|t|}$ は振動するので、この極限は存在しません。したがって、方向微分係数は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta$

(2) $\cos \theta |\sin \theta|$

(3) 存在しない