関数 $y=f(x)$ は微分可能な単調関数であり、$f(4)=1$、$f'(4)=-3$ である。このとき、逆関数 $y=f^{-1}(x)$ の $x=1$ における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=f(x)$ は微分可能な単調関数であり、$f(4)=1$、$f'(4)=-3$ である。このとき、逆関数 $y=f^{-1}(x)$ の $x=1$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、逆関数の微分を求める公式を確認します。

逆関数 $f^{-1}(x)$ の微分は、

$\frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

で与えられます。

この問題では、$x=1$ における接線を求めたいので、$f^{-1}(1)$ を求める必要があります。

$f(4) = 1$ より、$f^{-1}(1) = 4$ となります。

次に、逆関数の微分 $f^{-1}(x)$ を $x=1$ で評価します。

$(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(f^{-1}(1))} = \frac{1}{f'(4)} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$

したがって、逆関数 $y=f^{-1}(x)$ の $x=1$ における接線の傾きは $-\frac{1}{3}$ です。

接点の座標は $(1, f^{-1}(1)) = (1, 4)$ です。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で与えられます。

ここで、$x_1 = 1$, $y_1 = 4$, $m = -\frac{1}{3}$ です。

$y - 4 = -\frac{1}{3}(x - 1)$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + 4$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$