定積分 $S = \int_{1}^{\frac{8}{3}} \{ (\frac{1}{3}x + \frac{14}{3}) - (2x^2 - 7x + 10) \} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $S = \int_{1}^{\frac{8}{3}} \{ (\frac{1}{3}x + \frac{14}{3}) - (2x^2 - 7x + 10) \} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理する。

$\frac{1}{3}x + \frac{14}{3} - 2x^2 + 7x - 10 = -2x^2 + (\frac{1}{3} + 7)x + (\frac{14}{3} - 10) = -2x^2 + \frac{22}{3}x + \frac{14-30}{3} = -2x^2 + \frac{22}{3}x - \frac{16}{3}$

よって、積分は

$S = \int_{1}^{\frac{8}{3}} (-2x^2 + \frac{22}{3}x - \frac{16}{3}) dx$

$= [-\frac{2}{3}x^3 + \frac{11}{3}x^2 - \frac{16}{3}x]_{1}^{\frac{8}{3}}$

$= [-\frac{2}{3}(\frac{8}{3})^3 + \frac{11}{3}(\frac{8}{3})^2 - \frac{16}{3}(\frac{8}{3})] - [-\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{11}{3}(1)^2 - \frac{16}{3}(1)]$

$= [-\frac{2}{3} \cdot \frac{512}{27} + \frac{11}{3} \cdot \frac{64}{9} - \frac{128}{9}] - [-\frac{2}{3} + \frac{11}{3} - \frac{16}{3}]$

$= [-\frac{1024}{81} + \frac{704}{27} - \frac{128}{9}] - [\frac{-2+11-16}{3}] = [-\frac{1024}{81} + \frac{2112}{81} - \frac{1152}{81}] - [\frac{-7}{3}]$

$= \frac{-1024 + 2112 - 1152}{81} + \frac{7}{3} = \frac{-64}{81} + \frac{189}{81} = \frac{125}{81}$

3. 最終的な答え

$\frac{125}{81}$