関数 $f(x, y) = \frac{y^2}{x^3 + y^2}$ に対して、点 $(1, 1, f(1, 1))$ における曲面 $z = f(x, y)$ の接平面の方程式 $z = ax + by + c$ を求め、a, b, cの値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{y^2}{x^3 + y^2}$ に対して、点 $(1, 1, f(1, 1))$ における曲面 $z = f(x, y)$ の接平面の方程式 $z = ax + by + c$ を求め、a, b, cの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(1, 1)$ を計算します。

$f(1, 1) = \frac{1^2}{1^3 + 1^2} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

次に、$f(x, y)$ の偏微分を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y^2}{x^3 + y^2} \right) = y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x^3 + y^2)^{-1} = y^2 (-1) (x^3 + y^2)^{-2} (3x^2) = -\frac{3x^2y^2}{(x^3 + y^2)^2}$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y^2}{x^3 + y^2} \right) = \frac{2y(x^3 + y^2) - y^2(2y)}{(x^3 + y^2)^2} = \frac{2yx^3 + 2y^3 - 2y^3}{(x^3 + y^2)^2} = \frac{2yx^3}{(x^3 + y^2)^2}$

次に、点 $(1, 1)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, 1) = -\frac{3(1)^2(1)^2}{(1^3 + 1^2)^2} = -\frac{3}{(1 + 1)^2} = -\frac{3}{4}$

$f_y(1, 1) = \frac{2(1)(1)^3}{(1^3 + 1^2)^2} = \frac{2}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

接平面の方程式は次のようになります。

$z - f(1, 1) = f_x(1, 1)(x - 1) + f_y(1, 1)(y - 1)$

$z - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4}(x - 1) + \frac{1}{2}(y - 1)$

$z = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{4} + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$z = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{4}$

したがって、$a = -\frac{3}{4}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{3}{4}$.

3. 最終的な答え

a = -3/4

b = 1/2

c = 3/4