定積分 $S = \int_1^{\frac{4}{3}} \left[ \left( \frac{1}{3}x + \frac{14}{3} \right) - (2x^2 - 9x + 10) \right] dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $S = \int_1^{\frac{4}{3}} \left[ \left( \frac{1}{3}x + \frac{14}{3} \right) - (2x^2 - 9x + 10) \right] dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$\left( \frac{1}{3}x + \frac{14}{3} \right) - (2x^2 - 9x + 10) = \frac{1}{3}x + \frac{14}{3} - 2x^2 + 9x - 10 = -2x^2 + \frac{28}{3}x - \frac{16}{3}$

したがって、積分は次のようになります。

$S = \int_1^{\frac{4}{3}} \left( -2x^2 + \frac{28}{3}x - \frac{16}{3} \right) dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int \left( -2x^2 + \frac{28}{3}x - \frac{16}{3} \right) dx = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{14}{3}x^2 - \frac{16}{3}x + C$

最後に、定積分を計算します。

$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + \frac{14}{3}x^2 - \frac{16}{3}x \right]_1^{\frac{4}{3}}$

$S = \left( -\frac{2}{3} \left( \frac{4}{3} \right)^3 + \frac{14}{3} \left( \frac{4}{3} \right)^2 - \frac{16}{3} \left( \frac{4}{3} \right) \right) - \left( -\frac{2}{3} (1)^3 + \frac{14}{3} (1)^2 - \frac{16}{3} (1) \right)$

$S = \left( -\frac{2}{3} \cdot \frac{64}{27} + \frac{14}{3} \cdot \frac{16}{9} - \frac{64}{9} \right) - \left( -\frac{2}{3} + \frac{14}{3} - \frac{16}{3} \right)$

$S = \left( -\frac{128}{81} + \frac{224}{27} - \frac{64}{9} \right) - \left( -\frac{4}{3} \right)$

$S = \left( -\frac{128}{81} + \frac{672}{81} - \frac{576}{81} \right) + \frac{4}{3}$

$S = \frac{-128+672-576}{81} + \frac{4}{3}$

$S = \frac{-32}{81} + \frac{108}{81} = \frac{76}{81}$

3. 最終的な答え

$\frac{76}{81}$