定積分 $S = \int_{1}^{\frac{8}{3}} \left\{ (\frac{1}{3}x + \frac{14}{3}) - (2x^2 - 7x + 10) \right\} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $S = \int_{1}^{\frac{8}{3}} \left\{ (\frac{1}{3}x + \frac{14}{3}) - (2x^2 - 7x + 10) \right\} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

\begin{align*}

(\frac{1}{3}x + \frac{14}{3}) - (2x^2 - 7x + 10) &= \frac{1}{3}x + \frac{14}{3} - 2x^2 + 7x - 10 \\

&= -2x^2 + \frac{22}{3}x - \frac{16}{3}

\end{align*}

したがって、積分は次のようになります。

$S = \int_{1}^{\frac{8}{3}} (-2x^2 + \frac{22}{3}x - \frac{16}{3}) dx$

次に、不定積分を求めます。

\begin{align*}

\int (-2x^2 + \frac{22}{3}x - \frac{16}{3}) dx &= -2 \int x^2 dx + \frac{22}{3} \int x dx - \frac{16}{3} \int 1 dx \\

&= -2 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{22}{3} \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{16}{3}x + C \\

&= -\frac{2}{3}x^3 + \frac{11}{3}x^2 - \frac{16}{3}x + C

\end{align*}

定積分を計算します。

\begin{align*}

S &= \left[ -\frac{2}{3}x^3 + \frac{11}{3}x^2 - \frac{16}{3}x \right]_{1}^{\frac{8}{3}} \\

&= \left( -\frac{2}{3}(\frac{8}{3})^3 + \frac{11}{3}(\frac{8}{3})^2 - \frac{16}{3}(\frac{8}{3}) \right) - \left( -\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{11}{3}(1)^2 - \frac{16}{3}(1) \right) \\

&= \left( -\frac{2}{3} \cdot \frac{512}{27} + \frac{11}{3} \cdot \frac{64}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{2}{3} + \frac{11}{3} - \frac{16}{3} \right) \\

&= \left( -\frac{1024}{81} + \frac{704}{27} - \frac{128}{9} \right) - \left( \frac{-2+11-16}{3} \right) \\

&= \left( -\frac{1024}{81} + \frac{2112}{81} - \frac{1152}{81} \right) - \left( \frac{-7}{3} \right) \\

&= \frac{-1024+2112-1152}{81} + \frac{7}{3} \\

&= \frac{-64}{81} + \frac{189}{81} \\

&= \frac{125}{81}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{125}{81}$