区間 $[a, b]$ で定義された実数値連続関数全体のつくるベクトル空間 $V$ において、$f, g \in V$ に対して、内積が次のように定義されている。 $(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx$ この $(f, g)$ が内積の公理を満たすことを示す問題であると推測される。（問題文が途中で切れているため、完全な問題文は不明。）

1. 問題の内容

区間 $[a, b]$ で定義された実数値連続関数全体のつくるベクトル空間 $V$ において、$f, g \in V$ に対して、内積が次のように定義されている。

$(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx$

この $(f, g)$ が内積の公理を満たすことを示す問題であると推測される。（問題文が途中で切れているため、完全な問題文は不明。）

2. 解き方の手順

内積の公理とは、以下の性質を満たすことである。

(1) $(f, f) \ge 0$ かつ $(f, f) = 0 \iff f = 0$

(2) $(f, g) = (g, f)$ (対称性)

(3) $(af + bg, h) = a(f, h) + b(g, h)$ (線形性)

(1) $(f, f) = \int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx$ である。$f(x)^2 \ge 0$ なので、$\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx \ge 0$ が成り立つ。また、$f$ は連続関数なので、$\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx = 0$ ならば、$f(x) = 0$ が $a \le x \le b$ で成り立つ。したがって、$f = 0$ である。逆も成り立つ。

(2) $(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx$ であり、$(g, f) = \int_{a}^{b} g(x)f(x) \, dx$ である。被積分関数は同じなので、$\int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx = \int_{a}^{b} g(x)f(x) \, dx$ が成り立つ。したがって、$(f, g) = (g, f)$ である。

(3) $(af + bg, h) = \int_{a}^{b} (af(x) + bg(x))h(x) \, dx = \int_{a}^{b} (af(x)h(x) + bg(x)h(x)) \, dx = a\int_{a}^{b} f(x)h(x) \, dx + b\int_{a}^{b} g(x)h(x) \, dx = a(f, h) + b(g, h)$ が成り立つ。

以上より、$(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx$ は内積の公理を満たす。

3. 最終的な答え

$(f, g) = \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx$ は内積の公理を満たす。