$S(0)$ の値を求める問題です。積分 $\int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx$ を計算し、その結果に負の符号を付けた値です。

1. 問題の内容

$S(0)$ の値を求める問題です。積分 $\int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx$ を計算し、その結果に負の符号を付けた値です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$$\int (x^3 - 2x^2) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + C$$

次に、定積分を計算します。

$$\int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3}\right]_0^2$$

積分範囲の上端 $x=2$ を代入します。

$$\frac{2^4}{4} - \frac{2(2^3)}{3} = \frac{16}{4} - \frac{16}{3} = 4 - \frac{16}{3} = \frac{12}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{4}{3}$$

積分範囲の下端 $x=0$ を代入すると 0 になります。

したがって、定積分の値は $-\frac{4}{3}$ です。

$S(0)$ は、この定積分の値に負の符号を付けたものです。

$$S(0) = -\left(-\frac{4}{3}\right)$$

3. 最終的な答え

$S(0) = \frac{4}{3}$