問題は、以下の2つの極限を求めることです。 (1) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの極限を求めることです。

(1) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$について

$y=(1-e^x)^x$とおき、両辺の自然対数をとると、$\ln y = x \ln(1-e^x)$となります。

$\lim_{x \to -0} x \ln(1-e^x)$を計算します。$x \to -0$のとき、$e^x \to 1$となるため、$1-e^x \to 0$です。したがって、$\ln(1-e^x) \to -\infty$となります。

不定形$0 \cdot (-\infty)$なので、$\frac{-\infty}{\infty}$または$\frac{0}{0}$の形に変形してロピタルの定理を使えるようにします。

$\lim_{x \to -0} x \ln(1-e^x) = \lim_{x \to -0} \frac{\ln(1-e^x)}{\frac{1}{x}}$

これは$\frac{-\infty}{-\infty}$の形なので、ロピタルの定理を用いることができます。

$\lim_{x \to -0} \frac{\frac{-e^x}{1-e^x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to -0} \frac{e^x x^2}{1-e^x}$

これは$\frac{0}{0}$の形なので、ロピタルの定理を再度用いることができます。

$\lim_{x \to -0} \frac{e^x x^2 + 2xe^x}{-e^x} = \lim_{x \to -0} -x^2 - 2x = 0$

したがって、$\lim_{x \to -0} \ln y = 0$なので、$\lim_{x \to -0} y = e^0 = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}}$について

分母と分子にそれぞれ$\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2}$と$\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2}$を掛けて、根号を外します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(1-x - (1+x^2))(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{(1-x - (1-x^2))(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{(-x - x^2)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{(-x + x^2)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-x(1+x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{-x(1-x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{(1-x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})}$

$x \to 0$とすると、

$\frac{(1+0)(\sqrt{1-0} + \sqrt{1-0})}{(1-0)(\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0})} = \frac{1 \cdot (1+1)}{1 \cdot (1+1)} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}} = 1$