関数 $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ の増減と凹凸を調べ、変曲点と極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ の増減と凹凸を調べ、変曲点と極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と $f''(x)$ を計算します。

$f(x) = x^3 e^{-x^2}$

$f'(x) = 3x^2 e^{-x^2} + x^3 (-2x)e^{-x^2} = (3x^2 - 2x^4)e^{-x^2} = x^2(3-2x^2)e^{-x^2}$

$f''(x) = (6x - 8x^3)e^{-x^2} + (3x^2-2x^4)(-2x)e^{-x^2} = (6x-8x^3 -6x^3+4x^5)e^{-x^2} = (4x^5 - 14x^3 + 6x)e^{-x^2} = 2x(2x^4 - 7x^2 + 3)e^{-x^2}$

$2x^4-7x^2+3 = 0$ を解くために $t = x^2$ とおくと、

$2t^2 - 7t + 3 = 0$

$(2t - 1)(t - 3) = 0$

よって $t = \frac{1}{2}, 3$ であり、$x^2 = \frac{1}{2}, 3$ なので $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \sqrt{3}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0, \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ です。

$f'(x)$ の符号を調べます。

$x < -\sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき、$f'(x) < 0$

$-\sqrt{\frac{3}{2}} < x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

$0 < x < \sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > \sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = -\sqrt{\frac{3}{2}}$ で極小値、 $x = \sqrt{\frac{3}{2}}$ で極大値を持ち、$x = 0$ では極値を取りません。

極小値は $f(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = (-\sqrt{\frac{3}{2}})^3 e^{-(\sqrt{\frac{3}{2}})^2} = -(\frac{3}{2})\sqrt{\frac{3}{2}}e^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3\sqrt{6}}{4}e^{-\frac{3}{2}}$

極大値は $f(\sqrt{\frac{3}{2}}) = (\sqrt{\frac{3}{2}})^3 e^{-(\sqrt{\frac{3}{2}})^2} = (\frac{3}{2})\sqrt{\frac{3}{2}}e^{-\frac{3}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{4}e^{-\frac{3}{2}}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \sqrt{3}$ です。

$f''(x)$ の符号を調べます。

$f''(x) = 2x(2x^4 - 7x^2 + 3)e^{-x^2} = 2x(2x^2-1)(x^2-3)e^{-x^2} = 2x(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})e^{-x^2}$

$x < -\sqrt{3}$ のとき、$f''(x) < 0$

$-\sqrt{3} < x < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f''(x) > 0$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < 0$ のとき、$f''(x) < 0$

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f''(x) > 0$

$\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \sqrt{3}$ のとき、$f''(x) < 0$

$x > \sqrt{3}$ のとき、$f''(x) > 0$

したがって、変曲点は $x = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \sqrt{3}$ です。

変曲点の $y$ 座標は

$f(0) = 0$

$f(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}) = (\pm \frac{1}{\sqrt{2}})^3 e^{-(\pm \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}e^{-\frac{1}{2}}$

$f(\pm \sqrt{3}) = (\pm \sqrt{3})^3 e^{-(\pm \sqrt{3})^2} = \pm 3\sqrt{3}e^{-3}$

3. 最終的な答え

極大値: $(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3\sqrt{6}}{4}e^{-\frac{3}{2}})$

極小値: $(-\sqrt{\frac{3}{2}}, -\frac{3\sqrt{6}}{4}e^{-\frac{3}{2}})$

変曲点: $(0, 0), (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{4}e^{-\frac{1}{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-\frac{1}{2}}), (\sqrt{3}, 3\sqrt{3}e^{-3}), (-\sqrt{3}, -3\sqrt{3}e^{-3})$