与えられた積分 $\int \frac{x}{24} \cos{\frac{x}{8}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x}{24} \cos{\frac{x}{8}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここでは、$u = \frac{x}{24}$、$dv = \cos{\frac{x}{8}} dx$ と置きます。

すると、$du = \frac{1}{24} dx$ となります。

$v$ は $dv = \cos{\frac{x}{8}} dx$ の積分なので、$v = \int \cos{\frac{x}{8}} dx = 8\sin{\frac{x}{8}}$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int \frac{x}{24} \cos{\frac{x}{8}} dx = \frac{x}{24} \cdot 8\sin{\frac{x}{8}} - \int 8\sin{\frac{x}{8}} \cdot \frac{1}{24} dx$

$= \frac{x}{3} \sin{\frac{x}{8}} - \frac{1}{3} \int \sin{\frac{x}{8}} dx$

$\int \sin{\frac{x}{8}} dx = -8 \cos{\frac{x}{8}} + C$ なので、

$\frac{x}{3} \sin{\frac{x}{8}} - \frac{1}{3} \int \sin{\frac{x}{8}} dx = \frac{x}{3} \sin{\frac{x}{8}} - \frac{1}{3} (-8 \cos{\frac{x}{8}}) + C$

$= \frac{x}{3} \sin{\frac{x}{8}} + \frac{8}{3} \cos{\frac{x}{8}} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x}{24} \cos{\frac{x}{8}} dx = \frac{x}{3} \sin{\frac{x}{8}} + \frac{8}{3} \cos{\frac{x}{8}} + C$