関数 $y = \frac{\cos x}{\sqrt{x}}$ を微分し、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\cos x}{\sqrt{x}}$ を微分し、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が $y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = \cos x$、 $v(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ とおきます。

まず、$u'(x)$ と $v'(x)$ を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$

$v'(x) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

次に、商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{(-\sin x)(\sqrt{x}) - (\cos x)(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x})^2}$

これを整理します。

$y' = \frac{-\sqrt{x}\sin x - \frac{\cos x}{2\sqrt{x}}}{x}$

さらに整理するために、分子分母に $2\sqrt{x}$ をかけます。

$y' = \frac{2\sqrt{x}(-\sqrt{x}\sin x) - 2\sqrt{x}(\frac{\cos x}{2\sqrt{x}})}{2\sqrt{x}(x)}$

$y' = \frac{-2x\sin x - \cos x}{2x\sqrt{x}}$

$y' = \frac{-2x\sin x - \cos x}{2x^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x\sin x - \cos x}{2x\sqrt{x}}$

あるいは

$y' = \frac{-2x\sin x - \cos x}{2x^{\frac{3}{2}}}$