与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{\sqrt{x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{\sqrt{x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を利用する。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ に対して、

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\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}

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で与えられる。

この問題では、$u(x) = \cos x$、$v(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ となる。それぞれの微分は、

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u'(x) = -\sin x

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v'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

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したがって、

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\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x \cdot \sqrt{x} - \cos x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2}

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= \frac{-\sqrt{x}\sin x - \frac{\cos x}{2\sqrt{x}}}{x}

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= \frac{-2x\sin x - \cos x}{2x\sqrt{x}}

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3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x \sin x - \cos x}{2x\sqrt{x}}$